6.5 Use o método de Newton-Raphson para determinar uma raiz real de f(x)=-1+5,5 x-4 x^2+0,5 x^3 usando aproximações iniciais (a) 4,52 e (b) 4,54 . Discuta e use métodos gráficos e analíticos para explicar quaisquer peculiaridades nos seus resultados.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson em
f(x) = -1 + 5,5x - 4x^2 + 0,5x^3
para aproximar uma raiz real, tomando como aproximações iniciais (a) x0=4,52 e (b) x0=4,54. Vamos precisar da derivada
f'(x) = 5,5 - 8x + 1,5x^2
e da fórmula de iteração
xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn)

Passo 2

Calculamos para x0=4,52:
f(4,52) = -1 + 5,5cdot4,52 -4cdot(4,52)^2 +0,5cdot(4,52)^3 approx -11,7105,
f'(4,52) = 5,5 -8cdot4,52 +1,5cdot(4,52)^2 approx -0,0144
Logo o próximo iterado é
x1 = 4,52 ;-;-11,7105-0,0144 approx 4,52 - 812,32 = -807,80
Ou seja, em uma só iteração ficamos muito longe de qualquer raiz.

Passo 3

Agora para x0=4,54:
f(4,54) = -1 +5,5cdot4,54 -4cdot(4,54)^2 +0,5cdot(4,54)^3 approx -11,7649,
f'(4,54) = 5,5 -8cdot4,54 +1,5cdot(4,54)^2 approx 0,1724
O que dá
x1 = 4,54 ;-;-11,76490,1724 approx 4,54 + 68,21 = -63,67
De novo obtemos um valor muito afastado.

Passo 4

Por que isso acontece? Note que f'(x)=0 quando
1,5x^2 -8x +5,5 = 0 Longrightarrow x approx 0,8107ou xapprox 4,5226
Em xapprox4,5226 a derivada é quase zero, isto é, a reta tangente a f é quase horizontal. Gráfica e analiticamente, quando f'(xn) é muito pequeno, o quociente f(xn)/f'(xn) fica enorme e o método “salta” para pontos muito distantes, perdendo qualquer convergência.

Resposta

(a) Com x0=4,52 o método produz x1approx -807,80, ou seja, diverge.
(b) Com x0=4,54 o método produz x1approx -63,67, também sem convergência.
Peculiaridade: como f'(4,5226)approx0, a iteração de Newton fica instável para essas aproximações iniciais.

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