6.5 Use o método de Newton-Raphson para determinar uma raiz real de
usando aproximações iniciais (a) 4,52 e (b) 4,54 . Discuta e use métodos gráficos e analíticos para explicar quaisquer peculiaridades nos seus resultados.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson em
para aproximar uma raiz real, tomando como aproximações iniciais (a)
e (b)
. Vamos precisar da derivada
e da fórmula de iteração
Passo 2
Calculamos para
:
Logo o próximo iterado é
Ou seja, em uma só iteração ficamos muito longe de qualquer raiz.
Passo 3
Agora para
:
O que dá
De novo obtemos um valor muito afastado.
Passo 4
Por que isso acontece? Note que
quando
Em
a derivada é quase zero, isto é, a reta tangente a
é quase horizontal. Gráfica e analiticamente, quando
é muito pequeno, o quociente
fica enorme e o método “salta” para pontos muito distantes, perdendo qualquer convergência.
Resposta
(a) Com
o método produz
, ou seja, diverge.
(b) Com o método produz
, também sem convergência.
Peculiaridade: como , a iteração de Newton fica instável para essas aproximações iniciais.
(b) Com
Peculiaridade: como