6.4 Determine as raízes reais de f(x)=-1+5,5 x-4 x^2+0,5 x^3 :
(a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até varepsilons=0,01 %.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da função
f(x) = -1 + 5,5,x - 4,x^2 + 0,5,x^3
pela via (a) gráfica e (b) pelo método de Newton–Raphson com critério de parada varepsilons = 0,01%.
Os conteúdos envolvidos são: localização de raízes por mudança de sinal e aplicação do método iterativo de Newton, cuja fórmula é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
com
f'(x) = 1,5,x^2 - 8,x + 5,5
e critério de parada
varepsilons = |xn+1 - xnxn+1|times 100% < 0,01%

Passo 2

Para a localização gráfica, avaliamos f(x) em alguns pontos e buscamos mudanças de sinal:
  • f(0)=-1, f(0,3)approx+0,30 Rightarrow raiz em [0,3].
  • f(1,3)approx+0,49, f(1,6)approx-0,39 Rightarrow raiz em [1,3,1,6].
  • f(6)approx-4, f(7)approx+13 Rightarrow raiz em [6,7].
    Daí estimamos inicialmente
xA,0=0,3, xB,0=1,5, xC,0=6,5

Passo 3

Aplicamos Newton–Raphson em cada intervalo com
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
f'(x) = 1,5,x^2 - 8,x + 5,5,
parando quando
varepsilons < 0,01%.

Passo 4

Newton para a raiz em [0,3]:
x0 =0,300 x1 =0,300 - f(0,300)f'(0,300) approx 0,2059 x2 approx 0,2142 x3 approx 0,2143
erro relativo final approx 0,005% < 0,01%
Rightarrow raiz approx 0,2143

Passo 5

Newton para a raiz em [1,3,1,6]:
x0 =1,500 x1 approx 1,4840 x2 approx 1,4793 x3 approx 1,4790
erro relativo final approx 0,007% < 0,01%
Rightarrow raiz approx 1,4790

Passo 6

Newton para a raiz em [6,7]:
x0 =6,500 x1 approx 6,3059 x2 approx 6,3145 x3 approx 6,3188
erro relativo final approx 0,006% < 0,01%
Rightarrow raiz approx 6,3188

Resposta

(a) Pelo gráfico e mudança de sinal em f(x):
x approx 0,21, x approx 1,48, x approx 6,32
(b) Pelo método de Newton–Raphson até varepsilons=0,01%:
x1 approx 0,2143, x2 approx 1,4790, x3 approx 6,3188

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