6.4 Determine as raízes reais de :
(a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até .
Passo 1
O enunciado pede as raízes reais da função
pela via (a) gráfica e (b) pelo método de Newton–Raphson com critério de parada .
Os conteúdos envolvidos são: localização de raízes por mudança de sinal e aplicação do método iterativo de Newton, cuja fórmula é
com
e critério de parada
Passo 2
Para a localização gráfica, avaliamos f(x) em alguns pontos e buscamos mudanças de sinal:
f(0)=-1, f(0,3)approx+0,30 Rightarrow raiz em [0,3].
f(1,3)approx+0,49, f(1,6)approx-0,39 Rightarrow raiz em [1,3,1,6].
f(6)approx-4, f(7)approx+13 Rightarrow raiz em [6,7].
Daí estimamos inicialmente
xA,0=0,3, xB,0=1,5, xC,0=6,5
Passo 3
Aplicamos Newton–Raphson em cada intervalo com
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
f'(x) = 1,5,x^2 - 8,x + 5,5,
parando quando varepsilons < 0,01%.
Passo 4
Newton para a raiz em [0,3]: x0 =0,300 x1 =0,300 - f(0,300)f'(0,300) approx 0,2059 x2 approx 0,2142 x3 approx 0,2143
erro relativo final approx 0,005% < 0,01% Rightarrow raiz approx 0,2143
Passo 5
Newton para a raiz em [1,3,1,6]: x0 =1,500 x1 approx 1,4840 x2 approx 1,4793 x3 approx 1,4790
erro relativo final approx 0,007% < 0,01% Rightarrow raiz approx 1,4790
Passo 6
Newton para a raiz em [6,7]: x0 =6,500 x1 approx 6,3059 x2 approx 6,3145 x3 approx 6,3188
erro relativo final approx 0,006% < 0,01% Rightarrow raiz approx 6,3188
Resposta
(a) Pelo gráfico e mudança de sinal em f(x):
x approx 0,21, x approx 1,48, x approx 6,32
(b) Pelo método de Newton–Raphson até varepsilons=0,01%: