6.12 Determine as raízes das seguintes equações não-lineares simultâneas usando (a) iteração de ponto fixo e (b) o método de Newton-Raphson:
& y=-x^2+x+0,75 & y+5 x y=x^2
Use aproximações iniciais x=y=1,2 e discuta os resultados.

Passo 1

O problema dá o sistema não-linear
y = -x^2 + x + 0,75, y + 5xy = x^2,
e pede as soluções (x,y) usando (a) iteração de ponto-fixo e (b) Newton–Raphson, com chute inicial (x0,y0)=(1,2,,1,2). Vamos primeiro preparar as iterações em cada método.

Passo 2

Iteração de ponto-fixo. Precisamos escrever o sistema como
x = g1(x,y), y = g2(x,y)
Escolhemos uma forma simples: da segunda equação
y + 5xy = x^2Longrightarrow y = x^21+5x,
e da primeira tomamos
y = -x^2 + x + 0,75 Longrightarrow x = g1(x,y),
mas como é difícil isolar x sem raiz, adotamos a iteração mista
boxed yn+1 &= -xn^2 + xn + 0,75, xn+1 &= raiz,yn,(1 + 5,xn),,
isto é, da segunda equação extraímos x = raizy(1+5x) e usamos o valor antigo de (xn,yn).

Passo 3

Aplicando algumas iterações com (x0,y0)=(1,2,1,2):
n =0: (x0,y0)=(1,2,1,2)
n =1:
y1 = -1,2^2 + 1,2 + 0,75 = 0,51, x1 = raiz0,51,(1+5cdot1,2) = 1,889
n =2:
y2 = -1,889^2 +1,889 +0,75 approx -0,93, x2 = raiz-0,93,(1+5cdot1,889),
aqui já dá raiz de número negativo, ou seja a iteração deixa de fazer sentido (gera valores complexos). Concluímos que esta forma de ponto-fixo não converge.

Passo 4

Método de Newton–Raphson para sistemas. Definimos
O Jacobiano é
A iteração é
]

Passo 5

Primeira iteração com (x0,y0)=(1,2,1,2):
Calculemos
f1(1,2,1,2)=-0,69, f2(1,2,1,2)=6,96,
J(1,2,1,2)= -1,4 & -1[4pt] 3,6 & 7 , det J=-6,2
Inversa e produto J^-1F dão
J^-1Fapprox -0,3436[4pt] 1,171 ,
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(x1,y1) = (1,2,1,2) - (-0,3436,,1,171) approx (1,5436,;0,029) ]

Passo 6

Segunda e terceira iterações:
n =1: em (1,5436,0,029) obtemos
(x2,y2)approx(1,3938,0,2228).
n =2: em (1,3938,0,2228) obtemos
(x3,y3)approx(1,3718,0,2394).
As correções caem rápido; mais uma iteração levaria a
(x4,y4)approx(1,3706,0,2400).

Resposta

(a) A iteração de ponto-fixo proposta diverge (gera valores não reais).
(b) Newton–Raphson converge para
(x,y)approx(1,37,;0,24)
Discussão: a escolha de g em ponto-fixo é crítica e aqui não dá contrato; Newton, ao usar o Jacobiano, ajusta as correções e converge rapidamente.

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