6.24 O polinômio f(x)=0,0074 x^4-0,284 x^3+3,355 x^2- 12,183 x+5 tem uma raiz real entre 15 e 20. Aplique o método de Newton-Raphson a essa função usando uma aproximação inicial x0 =16,15. Explique seus resultados.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma raiz real do polinômio
f(x)=0,0074,x^4-0,284,x^3+3,355,x^2-12,183,x+5
que se sabe estar entre 15 e 20, aplicando o método de Newton–Raphson com aproximação inicial x0=16,15.
Conteúdo: método de Newton–Raphson para achar raízes de funções, que usa a iteração
xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn),
Precisamos de f'(x) e de avaliar f e f' em cada iteração.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=4cdot0,0074,x^3-3cdot0,284,x^2+2cdot3,355,x-12,183
ou seja
f'(x)=0,0296,x^3-0,852,x^2+6,71,x-12,183

Passo 3

Em x0=16,15 avaliamos
f(16,15)approx -11,05, f'(16,15)approx -1,28
Logo
x1 =16,15 ;-;-11,05-1,28 approx 16,15 - 8,65 =7,50
Note que já saímos do intervalo [15,20] porque f'(16,15) é muito pequeno, gerando um passo grande.

Passo 4

Prosseguindo as iterações:
f(7,50)approx +6,38, f'(7,50)approx 2,72 ;Longrightarrow; x2=7,50 - 6,382,72approx5,16,
f(5,16)approx -2,13, f'(5,16)approx 3,80 ;Longrightarrow; x3=5,16 - -2,133,80approx5,72,
x4approx5,54, x5approx5,54,dots
Ou seja, o método converge para xapprox5,54.

Passo 5

Explicação: como f'(16,15) é pequeno, o passo inicial foi grande e o iterado escapou do intervalo desejado, entrando no domínio de atração de outra raiz do polinômio (aproximadamente 5,54). Logo, com x0=16,15 o método de Newton–Raphson não localiza a raiz em [15,20], mas converge para uma raiz diferente.

Resposta

O método diverge da raiz em [15,20] e converge para a raiz aproximada
xapprox5,54

Exercícios de Livros Relacionados