6.9 Determine a maior raiz real de f(x)=0,95 x^3-5,9 x^2+10,9 x-6 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações, xi=3,5 ).
(c) Usando o método da secante (três iterações, xi-1=2,5 e xi=3,5 ).
(d) Usando o método da secante modificado (três iterações, xi=3,5 e de<a=0,01 ).

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real de
f(x)=0,95,x^3-5,9,x^2+10,9,x-6
por quatro métodos: (a) gráfico, (b) Newton–Raphson, (c) secante e (d) secante modificado. Para os métodos iterativos, usaremos a derivada
f'(x)=2,85,x^2-11,8,x+10,9

Passo 2

Para o método gráfico avaliamos f em pontos próximos à raiz maior. Por exemplo:
f(3,3)approx -0,14, f(3,4)approx 0,20
Como o sinal muda entre x=3,3 e x=3,4, a raiz maior fica aproximadamente em
xapprox3,34

Passo 3

Newton–Raphson:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
com x0=3,5.
Cálculos:
f(3,5)approx0,606, f'(3,5)approx4,5125
x1=3,5-0,6064,5125approx3,3657
f(3,3657)approx0,1048, f'(3,3657)approx3,5260
x2=3,3657-0,10483,5260approx3,3360
f(3,3360)approx0,0002, f'(3,3360)approx3,4945
x3=3,3360-0,00023,4945approx3,3360

Passo 4

Método da secante:
xn+1=xn-f(xn)xn-xn-1f(xn)-f(xn-1),
com x0=2,5, x1=3,5.
f(2,5)approx-0,7813, f(3,5)approx0,6060
x2=3,5-;0,6060;1,00,6060+0,7813approx3,0631
f(3,0631)approx-0,6030
x3=3,0631-l(-0,6030r)3,0631-3,5-0,6030-0,6060approx3,2812
f(3,2812)approx-0,2040
x4=3,2812-l(-0,2040r)3,2812-3,0631-0,2040+0,6030approx3,3253

Passo 5

Secante modificada (perturbação de<a=0,01):
xn+1=xn-f(xn),de<a,xnf(xn+de<a,xn)-f(xn),
com x0=3,5.
f(3,5)approx0,6060, f(3,535)approx0,7840
x1=3,5-0,6060cdot0,0350,7840-0,6060approx3,3809
f(3,3809)approx0,3780, f(3,4147)approx0,3180
x2=3,3809-0,3780cdot0,03380,3180-0,3780approx3,5939
f(3,5939)approx1,0720, f(3,6298)approx1,3020
x3=3,5939-1,0720cdot0,03591,3020-1,0720approx3,4269

Resposta

(a) xapprox3,34 (gráfico)
(b) x3approx3,3360 (Newton–Raphson)
(c) x4approx3,3253 (secante)
(d) x3approx3,4269 (secante modificada)

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