6.6 Determine a menor raiz real de f(x)=-12-21 x+18 x^2- 2,4 x^3 : (a) graficamente e (b) usando o método da secante para um valor de varepsilons correspondente a três algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz real da função
f(x) = -12 - 21,x + 18,x^2 - 2,4,x^3
de duas formas:
– (a) graficamente, isto é, identificando um intervalo onde ocorre troca de sinal e estimando a raiz;
– (b) pelo método da secante com critério de parada correspondente a 3 algarismos significativos.
Vamos usar no (a) o Teorema do Valor Intermediário para localizar a troca de sinal, e no (b) aplicar iterações da fórmula da secante até que o erro relativo aproximado seja menor que varepsilons=0,05%.

Passo 2

Para o método gráfico, avaliamos f(x) em alguns pontos:
f(-0,5) = -12 -21(-0,5)+18(0,25)-2,4(-0,125)=3,30>0
f(-0,4) = -12 -21(-0,4)+18(0,16)-2,4(-0,064)=-0,5664<0
Como f(-0,5)>0 e f(-0,4)<0, há uma raiz em [-0,5,,-0,4]. Por interpolação linear rápida,
xapprox -0,5 + 3,303,30+0,5664,(0,1)approx -0,414
Logo, graficamente a menor raiz vale aproximadamente -0,41.

Passo 3

Para o método da secante, tomamos
x0=-0,6, f(x0)=7,5984, x1=-0,4, f(x1)=-0,5664
A fórmula da secante é
xk+1 = xk - f(xk),xk-xk-1f(xk)-f(xk-1)
e o erro relativo aproximado é
ea = gl|xk+1-xkxk+1gr|times 100%
Pararemos quando ea<varepsilons=0,05%.

Passo 4

Primeira iteração ( k=1 gerando x2):
x2 = -0,4 - (-0,5664),-0,4 - (-0,6)-0,5664 - 7,5984 = -0,41388,
f(x2)approx -0,0550, ea = l|(-0,41388+0,4)/(-0,41388)r|times100%approx3,35%>0,05%

Passo 5

Segunda iteração ( k=2 gerando x3):
x3 = -0,41388 - (-0,0550),-0,41388 - (-0,4)-0,0550 - (-0,5664) = -0,41537,
f(x3)approx 0,0009, ea = l|(-0,41537+0,41388)/(-0,41537)r|times100%approx0,36%>0,05%

Passo 6

Terceira iteração ( k=3 gerando x4):
x4 = -0,41537 - (0,0009),-0,41537 - (-0,41388)0,0009 - (-0,0550) = -0,41535,
ea = l|(-0,41535+0,41537)/(-0,41535)r|times100%approx0,0048%<0,05%
Como ea<varepsilons, paramos aqui.

Resposta

(a) graficamente, a raiz está em [-0,5,-0,4] e vale aproximadamente -0,41.
(b) pelo método da secante com 3 algarismos significativos,
xapprox -0,415

Exercícios de Livros Relacionados