6.25 Use o método da secante na função do círculo
para encontrar uma raiz positiva. Tome sua aproximação inicial como
e
. Aproxime-se da solução a partir do primeiro e quarto quadrantes. Quando calcular
no quarto quadrante, certifique-se de tomar o valor negativo da raiz quadrada. Por que a sua solução diverge?
Passo 1
O problema pede para usar o método da secante para encontrar a posição
em que o círculo
corta o eixo
. Em outras palavras, queremos a raiz positiva da função
definida por
de modo que
. Vamos ver as duas “ramificações” dessa raiz (primeiro e quarto quadrantes) e aplicar o método da secante com aproximações iniciais
e
.
Passo 2
Resolvendo
vem
As duas soluções são
(positiva) e
(negativa). A raiz positiva pertence ao quarto quadrante da curva (uso do sinal “
” na raiz).
Passo 3
Se tentarmos a ramificação “primeiro quadrante”
vemos que para
e
temos sempre
. Logo não há mudança de sinal e o método da secante não consegue aproximar a raiz—ele simplesmente “pula” entre valores onde
nunca se anula.
Passo 4
Na ramificação do quarto quadrante definimos
Calculando os valores iniciais:
Há mudança de sinal, então o método da secante gera:
Logo, em poucos passos
sai do intervalo
onde a raiz quadrada é real, e o método “explode” para valores fora do domínio.
Passo 5
A razão da divergência está em que
fica muito grande (tende a
) perto de onde
. Isso viola as condições de convergência da secante (derivada limitada num entorno da raiz), fazendo com que os passos da iteração saltem para fora do domínio real.
Resposta
A iteração diverge porque a derivada de
torna-se não limitada (tende a infinito) junto ao ponto em que aparece a raiz quadrada nula, violando as hipóteses de convergência do método da secante.
torna-se não limitada (tende a infinito) junto ao ponto em que aparece a raiz quadrada nula, violando as hipóteses de convergência do método da secante.