6.25 Use o método da secante na função do círculo (x+1)^2+ (y-2)^2=16 para encontrar uma raiz positiva. Tome sua aproximação inicial como xi=3 e xi-1=0,5. Aproxime-se da solução a partir do primeiro e quarto quadrantes. Quando calcular f(x) no quarto quadrante, certifique-se de tomar o valor negativo da raiz quadrada. Por que a sua solução diverge?

Passo 1

O problema pede para usar o método da secante para encontrar a posição x>0 em que o círculo
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 16
corta o eixo y=0. Em outras palavras, queremos a raiz positiva da função f(x) definida por
y = f(x) = 2 pm raiz,16 - (x+1)^2,,
de modo que f(x)=0. Vamos ver as duas “ramificações” dessa raiz (primeiro e quarto quadrantes) e aplicar o método da secante com aproximações iniciais xi-1=0,5 e xi=3.

Passo 2

Resolvendo
2 pm raiz,16 - (x+1)^2, = 0
vem
pm raiz,16 - (x+1)^2, = -2 Longrightarrow raiz,16 - (x+1)^2, = 2 Longrightarrow 16 - (x+1)^2 = 4
(x+1)^2 = 12 Longrightarrow x+1 = pm 2raiz3 Longrightarrow x = -1 pm 2raiz3
As duas soluções são x1=-1+2raiz3approx2,464 (positiva) e x2=-1-2raiz3approx-4,464 (negativa). A raiz positiva pertence ao quarto quadrante da curva (uso do sinal “ -” na raiz).

Passo 3

Se tentarmos a ramificação “primeiro quadrante”
f+(x)=2 + raiz,16 - (x+1)^2,,
vemos que para x=0,5 e x=3 temos sempre f+(x)>0. Logo não há mudança de sinal e o método da secante não consegue aproximar a raiz—ele simplesmente “pula” entre valores onde f+(x) nunca se anula.

Passo 4

Na ramificação do quarto quadrante definimos
f-(x)=2 - raiz,16 - (x+1)^2,
Calculando os valores iniciais:
f-(0,5)=2 - raiz,16 - (1,5)^2,=2 - raiz13,75approx -1,708, f-(3)=2 - raiz16 - 4^2=2 - 0=2
Há mudança de sinal, então o método da secante gera:
x2 = 3 - 2;3 - 0,52 - (-1,708) approx1,652,
x3 approx1,204, x4approx -0,551, x5approx4,886,;dots
Logo, em poucos passos xn sai do intervalo [-5,3] onde a raiz quadrada é real, e o método “explode” para valores fora do domínio.

Passo 5

A razão da divergência está em que
f-'(x) = -x+1raiz,16 - (x+1)^2,
fica muito grande (tende a pminfty) perto de onde (x+1)^2to16. Isso viola as condições de convergência da secante (derivada limitada num entorno da raiz), fazendo com que os passos da iteração saltem para fora do domínio real.

Resposta

A iteração diverge porque a derivada de
;f-(x)=2-raiz16-(x+1)^2;
torna-se não limitada (tende a infinito) junto ao ponto em que aparece a raiz quadrada nula, violando as hipóteses de convergência do método da secante.

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