Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[6pt] -1 & 4 & 2 \\[6pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e quer verificar se ela é (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva. Vamos usar noções de simetria de matriz, cálculo de determinante, critério de dominância diagonal e o critério de Sylvester (menores principais) para definir positividade.]

Passo 2

Para verificar simetria, comparamos A e sua transposta A^T. Note que os elementos fora da diagonal satisfazem
a_{12} = -1 = a_{21}, \quad a_{23} = 2 = a_{32}, \quad a_{13} = 0 = a_{31}.
Logo A^T = A e A é simétrica.

Passo 3

Para ver se A é singular, calculamos \det(A). Usando expansão pela primeira linha,
\det(A) = 2\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[3pt]2 & 2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculando os determinantes 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 2 & 2\end{pmatrix} =4\cdot2-2\cdot2=8-4=4, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =-1\cdot2-2\cdot0=-2.
Logo
\det(A)=2\cdot4 -(-1)\cdot(-2)=8 - 2 = 6 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, A não é singular.]

Passo 4

Para checar estrita dominância diagonal, examinamos cada linha i e comparamos \lvert a_{ii}\rvert com \sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert:
– Linha 1: \lvert2\rvert > \lvert-1\rvert+\lvert0\rvert 2>1.
– Linha 2: \lvert4\rvert > \lvert-1\rvert+\lvert2\rvert 4>3.
– Linha 3: \lvert2\rvert > \lvert0\rvert+\lvert2\rvert 2>2, o que é falso (é igual).
Portanto A não é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Como A é simétrica, podemos usar o critério de Sylvester: os menores principais (determinantes dos submatrizes superiores) devem ser positivos.
– Menor de ordem 1: D_1 = 2>0.
– Menor de ordem 2:
D_2 = \det\begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]-1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4 - (-1)\cdot(-1) =8 -1 =7>0.
– Menor de ordem 3: D_3 = \det(A)=6>0.
Todos os D_k são positivos, logo A é definida positiva.]

Resposta

A é simétrica, não é singular, não é estritamente diagonal dominante e é definida positiva.

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