Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{rrcr}2 & 3 & 1 & 2 \\ -2 & 4 & -1 & 5 \\ 3 & 7 & 1,5 & 1 \\ 6 & -9 & 3 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 2\\\\ -2 & 4 & -1 & 5\\\\ 3 & 7 & 1,5 & 1\\\\ 6 & -9 & 3 & 7 \end{pmatrix}
e pede para verificar as propriedades:
(i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
Para isso, vamos usar:
  • definição de matriz simétrica A = A^T;
  • singularidade via determinante \det(A)=0;
  • critério de dominância diagonal \lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert;
  • fato de que apenas matrizes simétricas podem ser definidas positivas.

Passo 2

Verificar simetria comparando a_{ij} com a_{ji}. Por exemplo,
a_{12}=3,\quad a_{21}=-2,
logo a_{12}\neq a_{21}. Portanto A não é simétrica.

Passo 3

Calcular \det(A) para testar singularidade. Usando operações elementares:
R_2\gets R_2+R_1\;\Rightarrow\;R_2=(0,7,0,7),\quad R_3\gets R_3-\tfrac{3}{2}R_1\;\Rightarrow\;R_3=(0,2,5,0,-2),
R_4\gets R_4-3R_1\;\Rightarrow\;R_4=(0,-18,0,1).
Assim
\det(A) =2\;\det\begin{pmatrix} 7 & 0 & 7\\\\ 2,5 & 0 & -2\\\\ -18 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e essa matriz 3\times3 tem uma coluna nula, logo seu determinante vale zero. Concluímos que
\det(A)=0,
portanto A é singular.

Passo 4

Testar dominância diagonal em cada linha:
linha 1: \lvert 2\rvert\overset{?}{>}3+1+2=6 (falso),
linha 2: \lvert 4\rvert\overset{?}{>}2+1+5=8 (falso),
linha 3: \lvert 1,5\rvert\overset{?}{>}3+7+1=11 (falso),
linha 4: \lvert 7\rvert\overset{?}{>}6+9+3=18 (falso).
Logo A não é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para ser definida positiva, a matriz deve ser simétrica e ter todos os menores principais positivos. Como A não é simétrica, não pode ser definida positiva.

Resposta

(i) não
(ii) sim
(iii) não
(iv) não

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