6.10 Determine a menor raiz real de
:
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações,
).
(c) Usando o método da secante (três iterações,
e
).
(d) Usando o método da secante modificado (cinco iterações,
e
).
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações,
(c) Usando o método da secante (três iterações,
(d) Usando o método da secante modificado (cinco iterações,
Passo 1
O enunciado pede a menor raiz real da função
usando quatro abordagens:
– (a) aproximação gráfica analisando o sinal de ;
– (b) método de Newton-Raphson em três iterações a partir de ;
– (c) método da secante em três iterações com e
;
– (d) método da secante modificada em cinco iterações a partir de e
.
– (a) aproximação gráfica analisando o sinal de
– (b) método de Newton-Raphson em três iterações a partir de
– (c) método da secante em três iterações com
– (d) método da secante modificada em cinco iterações a partir de
Passo 2
Para a aproximação gráfica, calculamos alguns valores de
:
Como
e
, a raiz está em
. Refinação por inspeção ou bisseção indica
Passo 3
No método de Newton-Raphson usamos
com
Partindo de
:
Iteração 1:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Passo 4
No método da secante vale
Com
,
:
Iteração 1:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
(Usamos três iterações e obtemos
após a segunda, mas o valor oscila ao prosseguir.)
Passo 5
No método da secante modificada aplicamos
com
e
. Após cinco iterações chega-se a
Resposta
(a)
(b) Newton–Raphson após 3 iterações:
(c) Secante após 3 iterações: (valor instável).
(d) Secante modificada após 5 iterações:
(b) Newton–Raphson após 3 iterações:
(c) Secante após 3 iterações:
(d) Secante modificada após 5 iterações: