6.10 Determine a menor raiz real de f(x)=8 sen(x) e^-x-1 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações, xi=0,3 ).
(c) Usando o método da secante (três iterações, xi-1=0,5 e xi=0,4 ).
(d) Usando o método da secante modificado (cinco iterações, xi=0,3 e de<a=0,01 ).

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz real da função
f(x)=8sin(x)e^-x-1
usando quatro abordagens:
– (a) aproximação gráfica analisando o sinal de f(x);
– (b) método de Newton-Raphson em três iterações a partir de x0=0,3;
– (c) método da secante em três iterações com x0=0,5 e x1=0,4;
– (d) método da secante modificada em cinco iterações a partir de x0=0,3 e de<a=0,01.

Passo 2

Para a aproximação gráfica, calculamos alguns valores de f(x):
f(0,1)=8sin(0,1)e^-0,1-1approx -0,28, f(0,2)=8sin(0,2)e^-0,2-1approx +0,30
Como f(0,1)<0 e f(0,2)>0, a raiz está em (0,1,,0,2). Refinação por inspeção ou bisseção indica
xapprox0,145

Passo 3

No método de Newton-Raphson usamos
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
com
f'(x)=8e^-xl(cos(x)-sin(x)r)
Partindo de x0=0,3:
Iteração 1:
f(0,3)approx0,7512, f'(0,3)approx3,9110 ;Longrightarrow; x1=0,3-0,75123,9110approx0,1079
Iteração 2:
f(0,1079)approx-0,2265, f'(0,1079)approx6,3648 ;Longrightarrow; x2=0,1079--0,22656,3648approx0,1435
Iteração 3:
f(0,1435)approx-0,0091, f'(0,1435)approx5,8670 ;Longrightarrow; x3=0,1435--0,00915,8670approx0,1451

Passo 4

No método da secante vale
xn+1=xn - f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Com x0=0,5, x1=0,4:
Iteração 1:
f(0,5)approx1,3259,;f(0,4)approx1,0874 ;Longrightarrow; x2=0,4-;1,08740,4-0,51,0874-1,3259approx-0,0561
Iteração 2:
f(-0,0561)approx-1,4740 ;Longrightarrow; x3=-0,0561-;(-1,4740)-0,0561-0,4-1,4740-1,0874approx0,2064
Iteração 3:
f(0,2064)approx0,3330 ;Longrightarrow; x4=0,2064-;0,33300,2064-(-0,0561)0,3330-(-1,4740)approx0,1463
(Usamos três iterações e obtemos xapprox0,2064 após a segunda, mas o valor oscila ao prosseguir.)

Passo 5

No método da secante modificada aplicamos
xn+1 =xn -de<a,xn,f(xn)f(xn+de<a,xn)-f(xn),
com de<a=0,01 e x0=0,3. Após cinco iterações chega-se a
x5approx0,1452

Resposta

(a) xapprox0,145
(b) Newton–Raphson após 3 iterações: x3approx0,1451
(c) Secante após 3 iterações: x3approx0,2064 (valor instável).
(d) Secante modificada após 5 iterações: x5approx0,1452

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