6.1 Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de f(x)=2 sen(raizx)-x
Use a aproximação inicial x0=0,5 e itere até varepsilona <= 0,001 %. Verifique que o processo é linearmente convergente, como descrito no Quadro 6.1.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=2sin(raizx)-x
usando iteração de ponto-fixo simples. Vamos reescrever x=g(x), escolher uma função de iteração g, tomar x0=0,5 e iterar até que o erro aproximado relativo
varepsilona=|xn-xn-1||xn|times100%
seja menor ou igual a 0,001%. Também deveremos mostrar que a convergência é linear (isto é, o erro decai aproximadamente como |en+1|approx K,|en| com 0<K<1).

Passo 2

Escolhemos
g(x)=2sin(raizx),
pois da condição x=g(x) segue 2sin(raizx)-x=0. Para verificar que g é contração perto da raiz, calculamos
g'(x)=ddxl(2sin(raizx)r) =2cos(raizx)cdot12raizx =cos(raizx)raizx
Seja x^* a raiz; numericamente verá-se que x^*approx1,9734. Então
|g'(x^*)| =|cos(raiz1,9734)raiz1,9734| approx0,16851,4041approx0,12<1,
logo g é contração e garante convergência linear.

Passo 3

Vamos iterar xn+1=g(xn) e calcular
varepsilona,n=|xn-xn-1||xn|times100%.
Os valores são:
c|c|c n & xn & varepsilona,n,( %)hline 0 & 0,500000 & - 1 & 1,299274 & 61,50 2 & 1,818138 & 28,54 3 & 1,951288 & 6,85 4 & 1,970157 & 0,96 5 & 1,973393 & 0,16 6 & 1,973406 & 0,00066
No passo 6 obtivemos varepsilona,6=0,00066%<0,001%, logo parámos aqui.

Passo 4

Para verificar a convergência linear, observamos que, para n grande,
|xn+1-x^*||xn-x^*| approx|g'(x^*)|approx0,12,
isto corresponde a uma redução quase constante do erro em cada iteração, caracterizando convergência de ordem 1 (linear).

Resposta

A raiz aproximada é
xapprox1,973406
obtida em 6 iterações, com erro relativo final <=0,001%, e o método converge linearmente com taxa aproximada 0,12.

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