6.1 Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de
Use a aproximação inicial e itere até . Verifique que o processo é linearmente convergente, como descrito no Quadro 6.1.
Passo 1
O enunciado pede a raiz de
usando iteração de ponto-fixo simples. Vamos reescrever , escolher uma função de iteração , tomar e iterar até que o erro aproximado relativo
seja menor ou igual a . Também deveremos mostrar que a convergência é linear (isto é, o erro decai aproximadamente como com ).
Passo 2
Escolhemos
pois da condição segue . Para verificar que é contração perto da raiz, calculamos
Seja a raiz; numericamente verá-se que . Então
logo g é contração e garante convergência linear.
Passo 3
Vamos iterar xn+1=g(xn) e calcular varepsilona,n=|xn-xn-1||xn|times100%.
Os valores são: