6.11 A função x^3-2 x^2-4 x+8 tem uma raiz dupla em x=2.
Use (a) Newton-Raphson padrão [Equação (6.6)], (b) NewtonRaphson modificado [Equação (6.9a)] e (c) Newton-Raphson modificado [Equação (6.13)] para determinar a raiz em x=2. Compare e discuta a taxa de convergência usando uma aproximação inicial de x0=1,2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-2x^2-4x+8
que tem raiz dupla em x=2. Pede-se encontrar essa raiz usando (a) Newton–Raphson padrão, (b) Newton–Raphson modificado pela multiplicidade m=2 e (c) Newton–Raphson modificado pela fórmula
xn+1=xn-f(xn),f'(xn)l[f'(xn)r]^2-f(xn),f''(xn)
e comparar as taxas de convergência, partindo de x0=1,2.

Passo 2

Calculamos as derivadas necessárias:
f'(x)=3x^2-4x-4, f''(x)=6x-4

Passo 3

Newton–Raphson padrão usa
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Com x0=1,2 obtemos aproximadamente
x1&=1,2-2,048-4,48=1,6571, x2&=1,6571-0,4224-2,3876=1,8341, x3&approx1,9195, x4approx1,9499, dots
Os erros en=2-xn satisfazem
en+1enapprox0,5,
ou seja, convergência linear com fator assintótico tfracm-1m=tfrac12.

Passo 4

Newton modificado pela multiplicidade m=2 usa
xn+1=xn-2,f(xn)f'(xn)
Com x0=1,2:
x1&=1,2-22,048-4,48=2,1143, x2&=2,1143-20,0490,959=2,0120, x3&approx2,0000, dots
Aqui o erro satisfaz
en+1approx C,en^2,
ou seja, convergência quadrática.

Passo 5

Newton modificado pela fórmula (6.13) usa
xn+1 =xn -f(xn),f'(xn) l[f'(xn)r]^2-f(xn),f''(xn)
Aplicando em x0=1,2:
x1&=1,2-2,048cdot(-4,48)(-4,48)^2-2,048cdot3,2 approx1,8785, x2&approx1,9862, x3&approx1,9996, dots

Passo 6

Analisando os erros en=2-xn no método (c) verifica-se
e1approx0,1215, e2approx0,0138, e3approx0,0004,
e a razão
en+1en^3approxconstante,
mostrando convergência de ordem três (cúbica).

Resposta

(a) Método padrão: convergência linear com fator assintótico tfrac12.
(b) Newton modificado ( m=2): convergência quadrática.
(c) Newton modificado pela fórmula (6.13): convergência cúbica.

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