6.11 A função
tem uma raiz dupla em
.
Use (a) Newton-Raphson padrão [Equação (6.6)], (b) NewtonRaphson modificado [Equação (6.9a)] e (c) Newton-Raphson modificado [Equação (6.13)] para determinar a raiz em
. Compare e discuta a taxa de convergência usando uma aproximação inicial de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
que tem raiz dupla em
. Pede-se encontrar essa raiz usando (a) Newton–Raphson padrão, (b) Newton–Raphson modificado pela multiplicidade
e (c) Newton–Raphson modificado pela fórmula
e comparar as taxas de convergência, partindo de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3
Newton–Raphson padrão usa
Com
obtemos aproximadamente
Os erros satisfazem
Os erros
ou seja, convergência linear com fator assintótico
.
Passo 4
Newton modificado pela multiplicidade
usa
Com
:
Aqui o erro satisfaz
Aqui o erro satisfaz
ou seja, convergência quadrática.
Passo 5
Newton modificado pela fórmula (6.13) usa
Aplicando em
:
Passo 6
Analisando os erros
no método (c) verifica-se
e a razão
mostrando convergência de ordem três (cúbica).
Resposta
(a) Método padrão: convergência linear com fator assintótico
.
(b) Newton modificado ( ): convergência quadrática.
(c) Newton modificado pela fórmula (6.13): convergência cúbica.
(b) Newton modificado (
(c) Newton modificado pela fórmula (6.13): convergência cúbica.