determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty(-1)^k 3 k^24 k^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty(-1)^k,3k^24k^2+1
converge ou diverge. O tema é séries alternadas e, sempre que possível, aplicaríamos o teste de Leibniz. Porém, antes mesmo de verificar as hipóteses de Leibniz (monotonicidade e termo geral tendendo a zero), vale checar o teste do termo geral (condição necessária de convergência).

Passo 2

Considere o termo geral positivo
ak=3k^24k^2+1
Calculamos o limite quando ktoinfty:
limktoinftyak =limktoinfty3k^24k^2+1 =34neq 0

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo, não há como convergir, mesmo antes de aplicar o teste de Leibniz.

Resposta

A série diverge.

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