28.32 A Seção 8.4 apresenta uma equação diferencial de segunda ordem que pode ser usada para analisar as oscilações não forçadas do amortecedor de um automóvel. Dados m=1,2 times 10^6 g, c=1 times 10^7 g / s e k=1,25 times 10^9 g / s^2, use um método numérico para resolver no caso em que x(0)=0,4 e d x(0) / d t=0,0. Determine ambos o deslocamento e a velocidade de t=0 a 0,5 s.

Passo 1

O enunciado dá a equação do amortecedor não forçado
md^2xdt^2 + cdxdt + kx = 0
com m=1,2times10^6, g, c=1times10^7, g/s, k=1,25times10^9, g/s^2 e condições iniciais x(0)=0,4, dot x(0)=0.
Conteúdo: ODE de 2ª ordem amortecida. Para resolver numericamente vamos converter em sistema de 1ª ordem e aplicar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK 4).

Passo 2

Definimos
Aqui .

Passo 3

No método RK 4, a cada passo tnto tn+1=tn+h com h=0,1,s, calculam-se
k1x&=h,vn, & k1v&=hl(-tfraccmvn-tfrackmxnr), k2x&=hl(vn+tfrack1v2r), & k2v&=hl(-tfraccml(vn+tfrack1v2r)-tfrackml(xn+tfrack1x2r)r), k3x&=hl(vn+tfrack2v2r), & k3v&=hl(-tfraccml(vn+tfrack2v2r)-tfrackml(xn+tfrack2x2r)r), k4x&=hl(vn+k3vr), & k4v&=hl(-tfraccml(vn+k3vr)-tfrackml(xn+k3xr)r),
e então
xn+1=xn+k1x+2k2x+2k3x+k4x6, vn+1=vn+k1v+2k2v+2k3v+k4v6
Aplicando iterativamente de t=0 a 0,5,s com h=0,1,s obtemos a tabela abaixo.

Passo 4

Tabela dos valores aproximados de x(t) e v(t) em cada passo:
c|c|c t,[s] & x,[m] & v,[m/s] hline 0,0 & 0,4000 & 0,000 0,1 & -0,2652 & 0,502 0,2 & 0,1753 & -0,661 0,3 & -0,1155 & 0,652 0,4 & 0,0758 & -0,569 0,5 & -0,0495 & 0,467

Resposta

c|c|c t,[s] & x,[m] & v,[m/s] hline 0,0 & 0,4000 & 0,000 0,1 & -0,2652 & 0,502 0,2 & 0,1753 & -0,661 0,3 & -0,1155 & 0,652 0,4 & 0,0758 & -0,569 0,5 & -0,0495 & 0,467

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