28.36 Suponha que, depois de cair por 13 s , o pára-quedista dos Exemplos 1.1 e 1.2 puxa a corda de abertura. Nesse ponto, suponha que o coeficiente de arrasto aumente instantaneamente para um valor constante de 55 kg / s. Calcule a velocidade do pára-quedista de t=0 a 30 s com o método de Heun (sem iteração para o corretor), usando um tamanho de passo de 2 s . Trace v em função de t de t=0 a 30s.

Passo 1

O enunciado trata de um pára-quedista de massa m=80 kg que sofre força de arrasto proporcional à velocidade ( Fd = c,v). Até t=13 s temos c1=15 kg/s e, a partir de t=13 s, c2=55 kg/s. A equação de movimento é
m,dvdt = m,g - c(t),v,
com g=9,81 m/s^2 e condição inicial v(0)=0.
Queremos aproximar v(t) de t=0 a 30 s com método de Heun explícito (sem iteração no corretor) e passo h=2 s.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão
dvdt = f(t,v) onde f(t,v) = g - c(t)m,v
Em cada passo, se tn<13 usamos c(tn)=c1, se tn>=13 usamos c(tn)=c2. No cálculo do corretor, em tn+1 avaliamos c(tn+1) sob a mesma regra.

Passo 3

Método de Heun explícito (passo h) sem iteração no corretor:
1) calculamos k1 = f(tn,vn),
2) fazemos preditor
v^ast = vn + h,k1,
3) calculamos k2 = f(tn+1,v^ast),
4) então o valor corrigido é
vn+1 = vn + h2,(k1 + k2)

Passo 4

Definimos
k1 = 9,81 - c(tn)80,vn, k2 = 9,81 - c(tn+1)80,v^*
E iteramos de n=0 até n=15 (pois (30-0)/2=15 passos). Em particular, o passo que cruza t=13 (de 12~s a 14~s) terá c(tn)=15 e c(tn+1)=55.

Passo 5

Abaixo está a tabela de (tn,vn) aproximados (valores em m/s arredondados a quatro casas decimais):
c|c tn (s) & vn (m/s)hline 0 & 0,0000 2 & 15,9413 4 & 27,0263 6 & 34,7395 8 & 40,0938 10 & 43,8192 12 & 46,4120 14 & 23,8838 16 & 19,7589 18 & 17,3924 20 & 16,0451 22 & 15,2812 24 & 14,8447 26 & 14,5938 28 & 14,4585 30 & 14,3823

Passo 6

Para 0<= t<=12~s o arrasto é leve ( c1=15) e a velocidade cresce até cerca de 46,4 m/s. No passo de t=12~s a 14~s, ao trocar para c2=55, há forte desaceleração até approx23,9 m/s. Depois disso v(t) decai lentamente para cerca de 14,38 m/s em t=30~s.
O gráfico de v versus t é crescente e se aproxima do regime permanente antes de t=13~s, tem um salto descendente no passo que cruza 13~s e depois decai exponencialmente para o novo regime.

Resposta

Tabela de vn versus tn conforme acima; gráfico qualitativo descrito no passo 6.

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