28.34 A taxa de fluxo de calor (condução) entre dois pontos em um cilindro aquecido em uma extremidade é dada por
onde
é uma constante,
é a área da secção transversal do cilindro,
é o fluxo de calor,
é a temperatura,
é o tempo e
é a distância da extremidade aquecida. Como a equação envolve duas derivadas, vamos simplificar essa equação, tomando
onde
é o comprimento do cilindro. Combine essas duas equações e calcule o fluxo de calor de
a 25 s . A condição inicial é
e os parâmetros são
e
. Faça o gráfico de seus resultados.
Passo 1
Resumo do enunciado: a taxa de fluxo de calor satisfaz
e nos deram
com
,cal\cdotcm/s,
,cm^{2},
,cm,
,cm e condição inicial
. O objetivo é obter
para
.
Passo 2
Substituindo em
temos
Defina a constante
Logo
Passo 3
Integramos dos dois lados:
Para essa integral faça
, de onde
e
O integrando fica
Integrando,
Passo 4
Voltando a
e impondo
, obtemos
Substituindo
resulta
Passo 5
Para
,
varia de
a
, de modo que
é negativa e o termo linear domina para
maiores. O gráfico de
é uma curva crescente, começando em
e atingindo
Basta plotar a função
no intervalo
.
Resposta
O gráfico é uma curva monotonamente crescente, de
a
.