28.34 A taxa de fluxo de calor (condução) entre dois pontos em um cilindro aquecido em uma extremidade é dada por
d Qd t=lambda A d Td x
onde lambda é uma constante, A é a área da secção transversal do cilindro, Q é o fluxo de calor, T é a temperatura, t é o tempo e x é a distância da extremidade aquecida. Como a equação envolve duas derivadas, vamos simplificar essa equação, tomando
d Td x=100(L-x)(20-t)100-x t
onde L é o comprimento do cilindro. Combine essas duas equações e calcule o fluxo de calor de t=0 a 25 s . A condição inicial é Q(0) e os parâmetros são lambda=0,5 cal cdot cm / s, A=12 cm^2, L=20 cm e x=2,5 cm. Faça o gráfico de seus resultados.

Passo 1

Resumo do enunciado: a taxa de fluxo de calor satisfaz
dQdt=lambda cdot A cdot dTdx
e nos deram
dTdx=100 cdot (L-x) cdot (20-t)100 - x cdot t
com lambda=0,5,cal\cdotcm/s, A=12,cm^{2}, L=20,cm, x=2,5,cm e condição inicial Q(0)=0. O objetivo é obter Q(t) para 0<= t<=25.

Passo 2

Substituindo em dfracdQdt temos
dQdt = lambda,A,100,(L-x),(20-t)100 - x,t
Defina a constante
K=lambda,Acdot100,(L-x) =0,5cdot12cdot100cdot(20-2,5)=10,500
Logo
dQdt =K,20-t100-2,5,t

Passo 3

Integramos dos dois lados:
Q(t)=integral0^t K,20-tau100-2,5,tau,dtau
Para essa integral faça u=100-2,5,tau, de onde du=-2,5,dtau e
20-tau =20-100-u2,5 =-20+u2,5
O integrando fica
20-tau100-2,5,tau,dtau =l(-20u+12,5r)l(-du2,5r) =l(8u-16,25r),du
Integrando,
integrall(8u-16,25r),du =8ln|u|-u6,25+C =8ln(100-2,5,tau)-l(16-0,4,taur)+C

Passo 4

Voltando a tau e impondo Q(0)=0, obtemos
Q(t) =Kl[,8ln(100-2,5,t)-16+0,4,t -l(8ln100-16r)r] =Kl[,8ln100-2,5,t100+0,4,tr]
Substituindo K=10,500 resulta
boxed Q(t) =10,500l[,8ln100-2,5,t100 +0,4,tr] =84,000ln!gl(100-2,5,t100gr) +4,200,t

Passo 5

Para 0<= t<=25, (100-2,5t)/100 varia de 1 a 0,375, de modo que
ln é negativa e o termo linear domina para t maiores. O gráfico de Q(t) é uma curva crescente, começando em Q(0)=0 e atingindo
Q(25)approx84,000ln(0,375)+4,200cdot25approx2,26times10^4
Basta plotar a função
tmapsto84,000ln!l((100-2,5,t)/100r)+4,200,t
no intervalo [0,25].

Resposta

Q(t) =84,000ln!gl(100-2,5,t100gr) +4,200,t, 0<= t<=25
O gráfico é uma curva monotonamente crescente, de Q(0)=0 a Q(25)approx2,26times10^4.

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