Um eletroímã em forma de U, de comprimento l, separação de pólos d e permeabilidade \mu, tem seção quadrada de área A. É enrolado com N espiras de fio, conduzindo uma corrente I. Calcule a força com a qual o ímã sustenta, entre seus pólos, uma barra do mesmo material, de mesma seção reta.

Passo 1

O enunciado descreve um eletroímã em forma de U, de comprimento total do circuito magnético l, área de seção reta A, permeabilidade do ferro \mu e separação entre os pólos (gap onde encaixa a barra) de comprimento d. O enrolamento tem N espiras e conduz corrente I. Queremos a força de atração que o campo magnético exerce sobre uma barra de mesmo material e mesma seção, encaixada no gap.

Passo 2

Modelamos o circuito magnético como uma associação de duas relutâncias em série:
– a do ferro (núcleo + barra) de comprimento l e permeabilidade \mu,
– a do gap (pequena camada de ar) de comprimento d e permeabilidade \mu_0.
Assim
\mathcal{R}_{\rm ferro} = \frac{l}{\mu\,A}, \quad \mathcal{R}_{\rm gap} = \frac{d}{\mu_0\,A},
e a relutância total é
\mathcal{R} = \frac{l}{\mu\,A} + \frac{d}{\mu_0\,A}.

Passo 3

A fem magnética (mmf) do enrolamento é N\,I, e vale
N\,I \;=\;\Phi\,\mathcal{R} \quad\Longrightarrow\quad \Phi \;=\;\frac{N\,I}{\mathcal{R}} =\frac{N\,I}{\displaystyle\frac{l}{\mu A}+\frac{d}{\mu_0 A}} =\frac{\mu\,\mu_0\,A\,N\,I}{\mu_0\,l + \mu\,d}\,.

Passo 4

A densidade de fluxo no gap (e também na barra) é
B \;=\;\frac{\Phi}{A} =\frac{\mu\,\mu_0\,N\,I}{\mu_0\,l + \mu\,d}\,.

Passo 5

A força de atração pode ser obtida pela densidade de energia magnética no gap ou pelo tensor de Maxwell. Para um campo B atravessando área A num gap de vácuo,
F \;=\;\frac{B^2\,A}{2\,\mu_0}\,.
Substituindo B,
F =\frac{1}{2\,\mu_0}\Bigl(\frac{\mu\,\mu_0\,N\,I}{\mu_0\,l+\mu\,d}\Bigr)^{2}A =\frac{\mu^{2}\,\mu_0\,N^{2}I^{2}\,A}{2\,(\mu_0\,l+\mu\,d)^{2}}\,.

Resposta

F =\frac{\mu^{2}\,\mu_{0}\,N^{2}\,I^{2}\,A}{2\,(\mu_{0}\,l+\mu\,d)^{2}}.

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