14.6 Encontre o valor mínimo de
f(x, y)=(x-3)^2+(y-2)^2
começando em x=1 e y=1, usando o método do declive máximo, com o critério de parada de varepsilons=1 %. Explique seus resultados.

Passo 1

O enunciado pede o mínimo de f(x,y)=(x-3)^2+(y-2)^2 pelo método do declive máximo, partindo de (1,1) e com critério de parada de varepsilons=1%. Vamos precisar do gradiente de f, da determinação do passo alphak por busca exata e do cálculo do erro relativo para o critério.

Passo 2

O gradiente de f é
nabla f(x,y)=l(2(x-3),,2(y-2)r)
Para uma quadrática da forma
f(x)=tfrac12(x-x^*)^T A,(x-x^*),
a busca exata dá
alphak =nabla fk^Tnabla fknabla fk^T A,nabla fk
Aqui podemos escrever
f(x)=tfrac12l(x-(3,2)r)^T(2I),l(x-(3,2)r),
logo A=2I e
alphak =nabla fk^Tnabla fk2,nabla fk^Tnabla fk =tfrac12

Passo 3

Iteração k=0: x0=(1,1). Então
nabla f0 =2l(1-3,,1-2r) =(-4,-2), alpha0=tfrac12,
x1 =x0-alpha0,nabla f0 =(1,1)-tfrac12(-4,-2) =(3,2)

Passo 4

Calculamos o erro relativo aproximado em cada componente:
varepsilonx =lvert 3-1rvertlvert 3rverttimes100%=66,7%>1%, varepsilony =lvert 2-1rvertlvert 2rverttimes100%=50%>1%
Como ainda não satisfaz varepsilons=1%, prosseguimos.

Passo 5

Iteração k=1: em x1=(3,2) o gradiente é
nabla f1 =2(3-3,,2-2) =(0,0),
logo
x2 =x1-tfrac12(0,0) =(3,2)
O erro relativo então é zero em ambas as componentes, abaixo de 1%, e paramos.

Resposta

O método converge ao ponto (3,2), onde
f(3,2)=0,
obtido em duas iterações pelo critério varepsilons=1%.

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