Encontre a expansão em série de Taylor para cada função em torno do centro indicado
. Dê o intervalo de valores de
para os quais o desenvolvimento é correto.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
em torno de
e o intervalo de
em que a série converge. Vamos usar a técnica de reescrever
como um binômio de Newton em torno de
.
Passo 2
Escrevemos
Aqui definimos
de modo que
Passo 3
Aplicamos a série binomial para o expoente
:
onde
Logo
Passo 4
Para ver os primeiros termos, usamos
,
,
,
, ···
Portanto
Portanto
voltando a
:
Passo 5
A série binomial converge para
, ou seja