Encontre a expansão em série de Taylor para cada função em torno do centro indicado a. Dê o intervalo de valores de x para os quais o desenvolvimento é correto.
f(x)=raizx, a=4)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=raizx em torno de a=4 e o intervalo de x em que a série converge. Vamos usar a técnica de reescrever raizx como um binômio de Newton em torno de x=4.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=raizx=raiz4+(x-4)=2,raiz1+x-44
Aqui definimos
u = x-44,
de modo que
raizx=2,(1+u)^1/2

Passo 3

Aplicamos a série binomial para o expoente tfrac12:
(1+u)^1/2=sumk=0^inftybinom1/2k,u^k,
onde
binom1/2k =12l(12-1r)l(12-2r)cdotsl(12-k+1r)k!
Logo
raizx =2sumk=0^inftybinom1/2k,l(x-44r)^k

Passo 4

Para ver os primeiros termos, usamos
binom1/20=1,
binom1/21=tfrac12,
binom1/22=-tfrac18,
binom1/23=tfrac116, ···
Portanto
raizx =2l[1 + tfrac12,u - tfrac18,u^2 + tfrac116,u^3 + cdotsr] =2 + u - tfrac14,u^2 + tfrac18,u^3 + cdots
voltando a u=x-44:
raizx =2 + x-44 - (x-4)^264 + (x-4)^3512 - cdots

Passo 5

A série binomial converge para |u|<1, ou seja
l|x-44r|<1 Long<=ftrightarrow |x-4|<4 Long<=ftrightarrow 0<x<8

Resposta

boxedraizx =2sumk=0^inftybinom1/2k,l(x-44r)^k =2+x-44-(x-4)^264+(x-4)^3512-cdots, válida para 0<x<8 á

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