Encontre o centro , o raio e o intervalo de convergência das séries de potência dadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência
e pede o centro , o raio de convergência e o intervalo . Vamos identificar a soma interna, ver que é uma série em potências de centrada em zero, aplicar o teste da razão para achar e depois testar os extremos.
Passo 2
Reconhecemos a soma dos primeiros números naturais como
Substituindo na série, obtemos
Passo 3
Vemos que a série está na forma de potências de em torno de zero (aparecem apenas os termos ímpares, mas o centro é ). Portanto
Passo 4
Para determinar o raio, aplicamos o teste da razão aos termos positivos
Calculamos
Para convergir precisamos de |x|^2<1, ou seja |x|<1. Assim
R = 1
Passo 5
Testamos os extremos:
Para x=1 a série vira sumk=1^inftyk(k+1)2, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.