Encontre o centro a, o raio R e o intervalo I de convergência das séries de potência dadas.
sumk=1^infty(1+2+3+4+cdots+k) x^2 k-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
sumk=1^infty(1+2+cdots+k),x^2k-1
e pede o centro a, o raio de convergência R e o intervalo I. Vamos identificar a soma interna, ver que é uma série em potências de x centrada em zero, aplicar o teste da razão para achar R e depois testar os extremos.

Passo 2

Reconhecemos a soma dos primeiros k números naturais como
sumj=1^kj = k(k+1)2
Substituindo na série, obtemos
sumk=1^inftyk(k+1)2,x^2k-1

Passo 3

Vemos que a série está na forma de potências de x em torno de zero (aparecem apenas os termos ímpares, mas o centro é x=0). Portanto
a = 0

Passo 4

Para determinar o raio, aplicamos o teste da razão aos termos positivos
tk = k(k+1)2,|x|^2k-1
Calculamos
limktoinfty|tk+1tk| =limktoinfty (k+1)(k+2)2,|x|^2(k+1)-1 k(k+1)2,|x|^2k-1 =limktoinftyk+2k,|x|^2 =|x|^2
Para convergir precisamos de |x|^2<1, ou seja |x|<1. Assim
R = 1

Passo 5

Testamos os extremos:
Para x=1 a série vira sumk=1^inftyk(k+1)2, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
Para x=-1 a série é
sumk=1^infty k(k+1)2(-1)^2k-1 =-sumk=1^infty k(k+1)2,
que também diverge.
Portanto o intervalo de convergência é
I = (-1,1)

Resposta

a = 0, R = 1, I = (-1,1).

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