Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
52 \sum_{k=2}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\pi k+\frac{1}{\ln k}\right))

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^inftysinl(pi k + tfrac1ln kr)
e, em caso de convergência, decidir se ela é absoluta ou condicional.
Conteúdo: testes de séries alternadas (critérios de Leibniz) e convergência absoluta (comparação).

Passo 2

Primeiro, note que
sinl(pi k + tfrac1ln kr) =sin(pi k)cos!tfrac1ln k+cos(pi k)sin!tfrac1ln k =0cdotcostfrac1ln k+(-1)^ksin!tfrac1ln k =(-1)^ksin!tfrac1ln k
Logo a série fica
sumk=2^infty(-1)^k,sin!tfrac1ln k

Passo 3

Vamos aplicar o critério de Leibniz (séries alternadas). Seja bk=sin!tfrac1ln k.
  1. Para ktoinfty, temos tfrac1ln kto0 e, portanto,
bk=sin!tfrac1ln k;longrightarrow;0
  1. Para k grande, tfrac1ln k é decrescente e, como sin x é crescente em [0,1], segue que bk é decrescente para k suficientemente grande.
Assim, a série alternada sum(-1)^k bk converge (teorema de Leibniz).

Passo 4

Agora, verificamos a convergência absoluta:
sumk=2^inftyl|sin!tfrac1ln kr|
Para x pequeno vale sin xsim x. Mais precisamente,
limktoinftyl|sin!tfrac1ln kr|1/ln k=1
Logo, por comparação limite, sum|sin(1/ln k)| congesta ou diverge junto com sum1/ln k. Mas é sabido que
sumk=2^infty1ln k
diverge (por exemplo, pelo teste da integral integral2^inftydxln x=li(x)toinfty). Portanto sum|sin(1/ln k)| diverge e não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge, mas não absolutamente. Logo a convergência é condicional.

Exercícios de Livros Relacionados