Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
52 \sum_{k=2}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\pi k+\frac{1}{\ln k}\right))
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, em caso de convergência, decidir se ela é absoluta ou condicional.
Conteúdo: testes de séries alternadas (critérios de Leibniz) e convergência absoluta (comparação).
Passo 2
Primeiro, note que
Logo a série fica
Passo 3
Vamos aplicar o critério de Leibniz (séries alternadas). Seja .
Para , temos e, portanto,
Para grande, é decrescente e, como é crescente em , segue que é decrescente para suficientemente grande.
Assim, a série alternada converge (teorema de Leibniz).
Passo 4
Agora, verificamos a convergência absoluta:
Para x pequeno vale sin xsim x. Mais precisamente,
limktoinftyl|sin!tfrac1ln kr|1/ln k=1
Logo, por comparação limite, sum|sin(1/ln k)| congesta ou diverge junto com sum1/ln k. Mas é sabido que
sumk=2^infty1ln k
diverge (por exemplo, pelo teste da integral integral2^inftydxln x=li(x)toinfty). Portanto sum|sin(1/ln k)| diverge e não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge, mas não absolutamente. Logo a convergência é condicional.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas de Revisão - Ex. 52