28 Encontre lim n +infty(1+13^2+13^4+13^6+cdots+13^2 n).

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial
Sn = 1 + 13^2 + 13^4 + cdots + 13^2n
e em seguida o limite de Sn quando nto+infty. O conteúdo aqui é progressão geométrica (PG) e o cálculo de limite de termos de PG com |r|<1.

Passo 2

Reconhecemos que cada termo pode ser escrito como l(tfrac13^2r)^k=(tfrac19)^k para k=0,1,dots,n. Logo temos uma PG de primeiro termo
a1 = l(tfrac19r)^0 = 1
e razão
r = 19,

Passo 3

A soma dos primeiros n+1 termos de uma PG é dada por
Sn = a1 ,1 - r^,n+11 - r,
Substituindo a1=1 e r=tfrac19, obtém-se
Sn = 1 - l(tfrac19r)^n+11 - tfrac19,

Passo 4

Calculando o denominador:
1 - tfrac19 = tfrac89,
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Sn = 1 - (1/9)^,n+18/9 = 98l(1 - (1/9)^,n+1r)
Como l|tfrac19r|<1, temos (1/9)^,n+1to0 quando nto+infty.

Passo 5

Fazendo nto+infty em Sn:
limnto+inftySn = 98l(1 - 0r) = 98

Resposta

98

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