Encontre as primeiras derivadas parciais de cada finção.
f(x, y)=x^4 y-sen(x y^4)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^4y-sinl(x,y^4r)
Vamos usar a regra do produto para a parcela x^4y e a regra da cadeia para sin(xy^4).

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Para a primeira parcela, tratando y como constante:
partialpartial xl(x^4yr) = ycdotddx(x^4) =4x^3y
Para a segunda parcela, use a cadeia com u=x,y^4:
partialpartial xl[sin(u)r] =cos(u),partial upartial x =cosl(xy^4r)cdot y^4
Como havia sinal negativo em f,
partial fpartial x =4x^3y - y^4cosl(xy^4r)

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Para a primeira parcela:
partialpartial yl(x^4yr) =x^4cdotddy(y) =x^4
Para a segunda parcela, com u=x,y^4:
partialpartial yl[sin(u)r] =cos(u),partial upartial y =cosl(xy^4r)cdot xcdot4y^3
Incluindo o sinal negativo,
partial fpartial y =x^4-4x,y^3cosl(xy^4r)

Resposta

fx(x,y)=4x^3y - y^4cosl(xy^4r),
fy(x,y)=x^4 - 4x,y^3cosl(xy^4r)

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