encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de somas parciais
isto é,
O que precisamos é (i) identificar o termo geral
, (ii) escrever a série infinita
, (iii) verificar convergência e (iv) encontrar a soma, se convergir.
Passo 2
Para achar
usamos
Logo,
Passo 3
Decompomos
em frações parciais para ver o telescópio:
Temos
Para
segue
, para
segue
. Então
e a série fica
Passo 4
Como é telescópica, a soma parcial até
é
Como
a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série é
ela converge e sua soma vale
.