encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
sn=2 nn+5

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de somas parciais
sn=2nn+5,
isto é,
sn=sumk=1^nak
O que precisamos é (i) identificar o termo geral an, (ii) escrever a série infinita sum an, (iii) verificar convergência e (iv) encontrar a soma, se convergir.

Passo 2

Para achar an usamos
an=sn-sn-1 com sn=2nn+5, sn-1=2(n-1)(n-1)+5=2(n-1)n+4
Logo,
an =2nn+5-2(n-1)n+4 =2n(n+4)-2(n-1)(n+5)(n+5)(n+4) =10(n+5)(n+4)

Passo 3

Decompomos an em frações parciais para ver o telescópio:
10(n+4)(n+5) =An+4+Bn+5
Temos
10 = A(n+5)+B(n+4)
Para n=-4 segue A=10, para n=-5 segue B=-10. Então
an =10n+4-10n+5,
e a série fica
sumn=1^inftyan =sumn=1^inftyl(10n+4-10n+5r)

Passo 4

Como é telescópica, a soma parcial até n é
Sn =sumk=1^nl(10k+4-10k+5r) =10l(15-1n+5r) =2-10n+5 =2nn+5=sn
Como
limntoinftysn =limntoinfty2nn+5 =2,
a série converge e sua soma é 2.

Resposta

A série é
sumn=1^infty10(n+4)(n+5) =sumn=1^inftyl(10n+4-10n+5r),
ela converge e sua soma vale 2.

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