Encontre a soma de cada série forçando os termos através de somas parciais a formar uma série de encaixe.
sumk=1^infty 4(2 k-1)(2 k+3))

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a soma da série
sumk=1^infty 4(2k-1)(2k+3)
Usaremos como conteúdo principal séries telescópicas e decomposição em frações parciais para obter cancelamentos.

Passo 2

Decomponho o termo geral em frações parciais:
4(2k-1)(2k+3) = A2k-1 + B2k+3
Multiplicando ambos os lados por (2k-1)(2k+3) fica
4 = A(2k+3) + B(2k-1)
Como essa igualdade vale para todo k, igualamos coeficientes de k e termo constante:
2A + 2B = 0, 3A - B = 4

Passo 3

Resolvo o sistema
A + B = 0, 3A - B = 4
e obtenho
A = 1, B = -1
Logo
4(2k-1)(2k+3) = 12k-1 - 12k+3

Passo 4

Considere a soma parcial
Sn = sumk=1^n l(12k-1 - 12k+3r)
Listando os primeiros termos:
k=1:;11-15, k=2:;13-17, k=3:;15-19,;dots,; k=n:;12n-1-12n+3
Percebe-se que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
Sn = 1 + 13 - 12n+1 - 12n+3

Passo 5

Fazendo n to infty, temos tfrac12n+1to0 e tfrac12n+3to0. Assim
sumk=1^infty 4(2k-1)(2k+3) = limntoinfty Sn = 1 + 13 = 43

Resposta

43

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