A equação diferencial de Gompertz
serve como modelo para o crescimento de tumores, em que
é o número de células no tumor no instante
. O número máximo de células possivel ê
, e
é uma constante ligada à habilidade de proliferação das células.
Em um tipo particular de câncer,
e
é medido em meses. No instante em que o tumor é detectado
. Usando o método preditor-corretor de Adams com
, encontre o número de meses que leva para que
células, que é o número letal de células para este câncer.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Gompertz
com
,
, condição inicial
e passo
.
Pede-se o instante (em meses) tal que
, usando o método preditor-corretor de Adams. Vamos precisar de:
Pede-se o instante
- Quatro valores iniciais
obtidos por Runge–Kutta 4ª ordem com . - As fórmulas de Adams–Bashforth de 4 passos (preditora) e Adams–Moulton de 3 passos (corretora).
- Iterar até encontrar o primeiro
com e, se necessário, interpolar.
Passo 2
Definimos
Para usar o método de múltiplos passos precisamos de
,
,
,
.
Calculamos esses quatro valores por RK4 com . Por exemplo, em
,
, obtemos
Calculamos esses quatro valores por RK4 com
(Os detalhes de cada k-passo são padrão do RK4.)
Passo 3
Agora usamos o preditor de Adams–Bashforth de 4 passos:
Em seguida, corrigimos com Adams–Moulton de 3 passos:
Passo 4
Iteramos esse ciclo preditor–corretor para
, obtendo sucessivos
.
Registramos o par até que
. Em nossos cálculos numericamente executados, observamos que o tumor ultrapassa
células entre
Registramos o par
Passo 5
Para refinar o instante em que
, interpolamos linearmente entre
e
:
Resposta
O tumor atinge
células em aproximadamente
meses.