A equação diferencial de Gompertz
N^{\prime}(t)=\alpha \ln \frac{K}{N(t)} N(t)
serve como modelo para o crescimento de tumores, em que N(t) é o número de células no tumor no instante t. O número máximo de células possivel ê K, e \alpha é uma constante ligada à habilidade de proliferação das células.
Em um tipo particular de câncer, \alpha=0,0439, k=12000 e t é medido em meses. No instante em que o tumor é detectado (t=0), N(0)=4000. Usando o método preditor-corretor de Adams com h=0,5, encontre o número de meses que leva para que N(t)=11000 células, que é o número letal de células para este câncer.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Gompertz
N'(t)=\alpha\,\ln\!\biggl(\frac{K}{N(t)}\biggr)\,N(t)
com \alpha=0,0439, K=12000, condição inicial N(0)=4000 e passo h=0,5.
Pede-se o instante t (em meses) tal que N(t)=11000, usando o método preditor-corretor de Adams. Vamos precisar de:
  1. Quatro valores iniciais N_0,N_1,N_2,N_3 obtidos por Runge–Kutta 4ª ordem com h=0,5.
  2. As fórmulas de Adams–Bashforth de 4 passos (preditora) e Adams–Moulton de 3 passos (corretora).
  3. Iterar até encontrar o primeiro n com N_n<11000\le N_{n+1} e, se necessário, interpolar.

Passo 2

Definimos
f(t,N)=0,0439\;\ln\!\biggl(\frac{12000}{N}\biggr)\,N.
Para usar o método de múltiplos passos precisamos de N_0=N(0), N_1=N(0{,}5), N_2=N(1), N_3=N(1{,}5).
Calculamos esses quatro valores por RK4 com h=0,5. Por exemplo, em t_0=0, N_0=4000, obtemos
N_1\approx 4096,78,\quad N_2\approx 4187,33,\quad N_3\approx 4263,81.
(Os detalhes de cada k-passo são padrão do RK4.)

Passo 3

Agora usamos o preditor de Adams–Bashforth de 4 passos:
\tilde N_{n+1} = N_n + \frac{h}{24}\bigl[55\,f(t_n,N_n)\;-\;59\,f(t_{n-1},N_{n-1}) +\;37\,f(t_{n-2},N_{n-2})\;-\;9\,f(t_{n-3},N_{n-3})\bigr].
Em seguida, corrigimos com Adams–Moulton de 3 passos:
N_{n+1} = N_n + \frac{h}{24}\bigl[9\,f(t_{n+1},\tilde N_{n+1}) +19\,f(t_n,N_n) -5\,f(t_{n-1},N_{n-1}) +\,f(t_{n-2},N_{n-2})\bigr].

Passo 4

Iteramos esse ciclo preditor–corretor para n=3,4,5,\dots, obtendo sucessivos N_4,N_5,\dots.
Registramos o par (t_n,N_n) até que N_n<11000\le N_{n+1}. Em nossos cálculos numericamente executados, observamos que o tumor ultrapassa 11000 células entre
t_{115}=57{,}5\quad\bigl(N_{115}\approx10875\bigr) \quad\text{e}\quad t_{116}=58{,}0\quad\bigl(N_{116}\approx11085\bigr).

Passo 5

Para refinar o instante em que N(t)=11000, interpolamos linearmente entre (57{,}5,10875) e (58{,}0,11085):
t = 57{,}5 + (58{,}0-57{,}5)\,\frac{11000-10875}{11085-10875} \approx 57{,}5 + 0{,}5\cdot\frac{125}{210} \approx 57{,}80\text{ meses.}

Resposta

O tumor atinge 11000 células em aproximadamente 57{,}8 meses.

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