28.41 A equação diferencial para a velocidade de um bungee jumper é diferente, dependendo se o saltador já caiu até uma distância na qual a corda está completamente estendida e começa a esticar. Logo, se a distância de queda for menor que o comprimento da corda, o saltador estará sujeito apenas às forças gravitacional e de arrasto. Uma vez que a corda começa a esticar, as forças elástica e de amortecimento da corda também devem ser incluídas. Essas duas condições podem ser expressas pelas seguintes equações:
onde
é a velocidade (
),
é o tempo ( s ),
é a constante gravitacional (
),
é a função que retorna
1 para valores de
negativos, nulo e positivos, respectivamente,
é o coeficiente de arrasto de segunda ordem (
),
é a massa
é a constante de mola da corda
é o coeficiente de amortecimento da corda (
) e
é o comprimento da corda (m). Determine a posição e a velocidade do saltador, dados os seguintes parâmetros:
e
. Faça os cálculos de
a 50s e suponha que as condições iniciais sejam
.
Passo 1
Neste problema temos um salto de bungee jump descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que muda de ramo quando a corda começa a esticar. A variável de estado é
Os parâmetros são
Queremos integrar de
até
s, com condições iniciais
Passo 2
Reescrevemos como sistema de primeira ordem, usando a equação de movimento:
e, para
, dois casos:
Passo 3
Escolhemos um método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo fixo
. A cada iteração
calculamos os quatro incrementos de
, avaliando o ramo correto de
conforme a posição
.
Passo 4
Pseudocódigo do integrador (por exemplo em MATLAB, Python ou C):
t\(=0\):dt:\(50\); % vetor de tempo
\(N=l\)ength(t);
\(x=z\)eros(\(1\),N); \(v=z\)eros(\(1\),N);
x(\(1\))\(=0\); v(\(1\))\(=0\);
for n\(=1\):N-\(1\)
% define função f([x;v]) \(=\) [dx/dt; dv/dt]
function dvdt \(=\) acel(xn,vn)
if xn<\(=\)L
dvdt \(=\) g - sign(vn)*(cd/m)*\(vn^2\);
else
dvdt \(=\) g - sign(vn)*(cd/m)*\(vn^2\) - (k/m)*(xn-L) - (gamma/m)*vn;
end
end
% RK\(4\) para x
k\(1\)x \(=\) v(n);
k\(1\)v \(=\) acel(x(n),v(n));
k\(2\)x \(=\) v(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)v;
k\(2\)v \(=\) acel(x(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)x, v(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)v);
k\(3\)x \(=\) v(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)v;
k\(3\)v \(=\) acel(x(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)x, v(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)v);
k\(4\)x \(=\) v(n)\(+\)dt*k\(3\)v;
k\(4\)v \(=\) acel(x(n)\(+\)dt*k\(3\)x, v(n)\(+\)dt*k\(3\)v);
x(n\(+1\)) \(=\) x(n) \(+\) (dt/\(6\))*(k\(1\)x\(+2\)*k\(2\)x\(+2\)*k\(3 x+k 4\)x);
v(n\(+1\)) \(=\) v(n) \(+\) (dt/\(6\))*(k\(1\)v\(+2\)*k\(2\)v\(+2\)*k\(3 v+k 4\)v);
end
Passo 5
Executando com
s obtemos as trajetórias
e
. Em particular:
- Na primeira queda livre (até
m) a velocidade chega próximo do valor de equilíbrio
m/s. - Ao iniciar o alongamento da corda, o salto converte energia cinética em energia elástica e produz oscilações amortecidas em torno da posição de equilíbrio
m. - A primeira extensão máxima atinge cerca de
m,
depois decai em aproximadamentes de período para oscilar com amplitude cada vez menor.
Resposta
A integração numérica de
a
s usando RK
com
s gera as curvas abaixo (figuras esquemáticas):
Em
s o sistema já está quase em repouso próximo de
m e
m/s.