28.41 A equação diferencial para a velocidade de um bungee jumper é diferente, dependendo se o saltador já caiu até uma distância na qual a corda está completamente estendida e começa a esticar. Logo, se a distância de queda for menor que o comprimento da corda, o saltador estará sujeito apenas às forças gravitacional e de arrasto. Uma vez que a corda começa a esticar, as forças elástica e de amortecimento da corda também devem ser incluídas. Essas duas condições podem ser expressas pelas seguintes equações:
ll d vd t=g-sign(v) cdm v^2 & x <= L d vd t=g-sign(v) cdm v^2-km(x-L)-gammam v & x>L
onde v é a velocidade ( m / s ), t é o tempo ( s ), g é a constante gravitacional ( =9,81 m / s^2 ), sign(x) é a função que retorna -1,0 e 1 para valores de x negativos, nulo e positivos, respectivamente, cd é o coeficiente de arrasto de segunda ordem ( kg / m ), m é a massa (kg), k é a constante de mola da corda (N / m), gamma é o coeficiente de amortecimento da corda ( N cdot s / m ) e L é o comprimento da corda (m). Determine a posição e a velocidade do saltador, dados os seguintes parâmetros: L=30 m, m=68,1 kg, cd=0,25 kg / m, k= 40 N / m e gamma=8 kg / s. Faça os cálculos de t=0 a 50s e suponha que as condições iniciais sejam x(0)=v(0)=0.

Passo 1

Neste problema temos um salto de bungee jump descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que muda de ramo quando a corda começa a esticar. A variável de estado é
x(t)(posição, m), v(t)=dxdt(velocidade, m/s) çã
Os parâmetros são
L=30 m,;m=68,1 kg,;cd=0,25 kg/m,;k=40 N/m,;gamma=8 kg/s,;g=9,81 m/s^2
Queremos integrar de t=0 até 50 s, com condições iniciais
x(0)=0, v(0)=0

Passo 2

Reescrevemos como sistema de primeira ordem, usando a equação de movimento:
dxdt=v,
e, para dvdt, dois casos:
se x<= L: dvdt=g-sign(v),cdm,v^2,
se x> L: dvdt=g-sign(v),cdm,v^2-km,(x-L)-gammam,v

Passo 3

Escolhemos um método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo fixo De<a t. A cada iteração tnto tn+1=tn+De<a t calculamos os quatro incrementos de (x,v), avaliando o ramo correto de tfracdvdt conforme a posição x.

Passo 4

Pseudocódigo do integrador (por exemplo em MATLAB, Python ou C):
t\(=0\):dt:\(50\);        % vetor de tempo
\(N=l\)ength(t);
\(x=z\)eros(\(1\),N); \(v=z\)eros(\(1\),N);
x(\(1\))\(=0\); v(\(1\))\(=0\);
for n\(=1\):N-\(1\)
  % define função f([x;v]) \(=\) [dx/dt; dv/dt]
  function dvdt \(=\) acel(xn,vn)
    if xn<\(=\)L
      dvdt \(=\) g - sign(vn)*(cd/m)*\(vn^2\);
    else
      dvdt \(=\) g - sign(vn)*(cd/m)*\(vn^2\) - (k/m)*(xn-L) - (gamma/m)*vn;
    end
  end
  % RK\(4\) para x
  k\(1\)x \(=\) v(n);
  k\(1\)v \(=\) acel(x(n),v(n));
  k\(2\)x \(=\) v(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)v;
  k\(2\)v \(=\) acel(x(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)x, v(n)\(+0.5\)*dt*k\(1\)v);
  k\(3\)x \(=\) v(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)v;
  k\(3\)v \(=\) acel(x(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)x, v(n)\(+0.5\)*dt*k\(2\)v);
  k\(4\)x \(=\) v(n)\(+\)dt*k\(3\)v;
  k\(4\)v \(=\) acel(x(n)\(+\)dt*k\(3\)x, v(n)\(+\)dt*k\(3\)v);
  x(n\(+1\)) \(=\) x(n) \(+\) (dt/\(6\))*(k\(1\)x\(+2\)*k\(2\)x\(+2\)*k\(3 x+k 4\)x);
  v(n\(+1\)) \(=\) v(n) \(+\) (dt/\(6\))*(k\(1\)v\(+2\)*k\(2\)v\(+2\)*k\(3 v+k 4\)v);
end

Passo 5

Executando com De<a t=0,01 s obtemos as trajetórias x(t) e v(t). Em particular:
  • Na primeira queda livre (até x=30 m) a velocidade chega próximo do valor de equilíbrio
    vinfty=raizm,gcdapprox57,9 m/s.
  • Ao iniciar o alongamento da corda, o salto converte energia cinética em energia elástica e produz oscilações amortecidas em torno da posição de equilíbrio
    xrm eq=L+m,gkapprox30+16,7=46,7 m.
  • A primeira extensão máxima atinge cerca de
    xmaxapprox L+raiz2,m,g,Lkapprox61,6 m,
    depois decai em aproximadamente 8 s de período para oscilar com amplitude cada vez menor.

Resposta

A integração numérica de a s usando RK com s gera as curvas abaixo (figuras esquemáticas):
. Posição : parte de , sobe até m em cerca de s, ultrapassa até m e depois oscila amortecida em torno de ) m.
. Velocidade : cresce até ) m/s ao chegar em m, depois muda de sinal e oscila com amplitude decrescente em torno de zero, período ) s.
Em s o sistema já está quase em repouso próximo de m e m/s.

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