Se s é um escalar não-nulo e se barA e barB são vetores tais que s barA=s barB, é verdade que barA= barB ? Por quề?

Passo 1

O enunciado diz que temos um escalar não‐nulo s e vetores barA e barB tais que
s cdot barA = s cdot barB
Pergunta‐se se disso segue barA = barB. Para resolver, vamos usar a propriedade de que, em um espaço vetorial, todo escalar não‐nulo possui inverso multiplicativo, e a multiplicação escalar é associativa.

Passo 2

Como sneq0, existe o inverso escalar ,s^-1 tal que
s^-1 ,s = 1
Multiplicando a igualdade s,bar A = s,bar B por s^-1 à esquerda, e usando associatividade da multiplicação escalar, obtemos
s^-1(s,bar A) ;=; s^-1(s,bar B) Longrightarrow (s^-1s),bar A ;=;(s^-1s),bar B Longrightarrow 1cdotbar A ;=;1cdotbar B Longrightarrow bar A=bar B

Resposta

Sim. Como sneq0, existe s^-1 que, ao multiplicar ambos os lados de s,bar A=s,bar B, “cancela” o s, resultando em bar A=bar B.

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