8 Escreva a equação do plano contendo os três pontos (-27,14,3),(111,-75,3), e (666, 1720, 3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos
(-27,14,3), (111,-75,3) e (666,1720,3).
O conteúdo usado será geometria analítica: forma vetorial do plano e produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Escolhemos um ponto de referência, por exemplo P1 = (-27,14,3), e formamos dois vetores diretores do plano:
vec v = P2 - P1 = (111 - (-27),;-75 - 14,;3 - 3) = (138,,-89,,0),
vec w = P3 - P1 = (666 - (-27),;1720 - 14,;3 - 3) = (693,,1706,,0)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado pelo produto vetorial vec v times vec w. Como ambos têm terceira componente zero,
vec n = i & j & k 138 & -89 & 0 693 & 1706 & 0 = (0,,0,;138cdot1706 - (-89)cdot693)
Calculando o determinante do componente k:
138cdot1706 = 235428, (-89)cdot693 = -61677, 235428 - (-61677) = 297105
Logo vec n = (0,0,297105), que é paralelo a (0,0,1).

Passo 4

Usamos a forma ponto–normal do plano:
vec ncdotl((x,y,z) - P1r)=0
(0,0,297105)cdotl(x+27,;y-14,;z-3r)=0
297105,(z-3)=0
z-3=0

Resposta

A equação do plano é
z = 3

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