24.51 Fornecidos os dados a seguir, encontre o trabalho isotérmico feito no gás quando ele é comprimido de 23 L até 3 L (lembre-se de que .
3 8 13 18 23
, atm 12,5 3,5 1,8 1,4 1,2
(a) Calcule o trabalho feito sobre o gás numericamente, usando a regra do trapézio com 1, 2 e 4 segmentos.
(b) Calcule as razões dos erros nessas estimativas e relacione-as à análise de erro da regra do trapézio com aplicações múltiplas discutida no Capítulo 21.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho isotérmico
W=-integralV1^V2P,dV
quando o gás é comprimido de V1=23 L até V2=3 L, usando os dados tabelados e aplicando a regra do trapézio com 1, 2 e 4 subintervalos.

Passo 2

Para 1 segmento temos
h=V2-V11=3-23=-20 L
A estimativa do integral é
integral23^3P,dVapproxh2l[P(23)+P(3)r] =-202l(1,2+12,5r)=-137 Lcdotatm
Logo
W=-integral23^3P,dV=137 Lcdotatm approx137times101,325approx1,39times10^4 J

Passo 3

Para 2 segmentos temos
h=3-232=-10 L,
volumes em (23,13,3) com pressões (1,2;1,8;12,5). Então
integral23^3P,dVapproxh2l[P(23)+2P(13)+P(3)r] =-102l(1,2+2times1,8+12,5r)=-86,5 Lcdotatm,
W=86,5 Lcdotatmapprox86,5times101,325approx8,76times10^3 J

Passo 4

Para 4 segmentos temos
h=3-234=-5 L,
volumes em (23,18,13,8,3) com pressões (1,2;1,4;1,8;3,5;12,5). Assim
integral23^3P,dVapproxh2l[P(23)+2P(18)+2P(13)+2P(8)+P(3)r] =-52l(1,2+2cdot1,4+2cdot1,8+2cdot3,5+12,5r) =-67,75 Lcdotatm,
W=67,75 Lcdotatmapprox67,75times101,325approx6,87times10^3 J

Passo 5

Tomando W4 ( 4 segmentos) como valor de referência, os erros em Lcdot atm são
E1=|W1-W4|=137-67,75=69,25, E2=|W2-W4|=86,5-67,75=18,75
A razão
E2E1approx18,7569,25approx0,27,
e ao dobrar o número de subintervalos ( hto h/2) o erro cai em aproximadamente (1/2)^2=1/4, conforme a análise de erro da regra do trapézio de ordem h^2.

Resposta

1 segmento: Wapprox1,39times10^4 J
2 segmentos: Wapprox8,76times10^3 J
4 segmentos: Wapprox6,87times10^3 J
Erros em Lcdot atm: E1approx69,25, E2approx18,75, razão E2/E1approx0,27sim1/4.

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