24.26 A área da superfície horizontal de um lago a uma profundidade particular pode ser calculada a partir do volume por derivação,
em que é o volume e é a profundidade medida da superfície até o fundo. A concentração média de uma substância que varia com a profundidade pode ser calculada por integração
em que é a profundidade total (m). Calcule a concentração média com base nos seguintes dados:
0 4 8 12 16
9,8175 5,1051 1,9635 0,3927 0,0000
10,2 8,5 7,4 5,2 4,1

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados em função da profundidade z:
c|ccccc z;( m)&0&4&8&12&16hline V;(10^6 m^3)&9,8175&5,1051&1,9635&0,3927&0,0000hline c;(g/m^3)&10,2&8,5&7,4&5,2&4,1
Queremos calcular
bar c ;=;integral0^Zc(z),As(z),dzintegral0^ZAs(z),dz,
onde As(z)=-tfracdVdz. Como temos apenas valores discretos, vamos aproximar as integrais por somas em cada camada entre zi e zi+1.

Passo 2

Em cada intervalo i de profundidade, definimos
De<a Vi = V(zi)-V(zi+1), De<a zi = zi+1-zi,
de modo que As médio na camada vale aproximadamente
As,iapprox De<a ViDe<a zi
Mas, para o cálculo de bar c, é mais direto usar a troca de variável
integral0^Z c(z),As(z),dz = -integralV(0)^V(Z)c,dV
e aproximar -integral c,dV por sum bar ci,De<a Vi, com bar ci média de c na camada.

Passo 3

Definimos em cada camada
bar ci = ci + ci+12, De<a Vi = Vi - Vi+1
Então
integral0^Zc,As,dz approx sumi=1^4bar ci,De<a Vi, integral0^ZAs,dz approx sumi=1^4De<a Vi = V(0)-V(Z)

Passo 4

Calculamos De<a Vi, bar ci e o produto bar ci,De<a Vi (todos em unidades de 10^6 m^3 e g/m^3):
c|cccc i&1&(0to4)&2&(4to8)&3&(8to12)&4&(12to16)hline De<a Vi&9,8175-5,1051=4,7124&3,1416&1,5708&0,3927 bar ci&tfrac10,2+8,52=9,35&7,95&6,30&4,65hline bar ci,De<a Vi&9,35cdot4,7124=44,06&7,95cdot3,1416=24,98&6,30cdot1,5708=9,90&4,65cdot0,3927=1,83

Passo 5

Somamos as contribuições:
sumi=1^4De<a Vi =4,7124+3,1416+1,5708+0,3927 =9,8175,
sumi=1^4bar ci,De<a Vi =44,06+24,98+9,90+1,83 =80,77
Logo a concentração média é
bar c approx 80,779,8175 =8,23;g/m^3

Resposta

A concentração média do lago é aproximadamente 8,23;g/m^3

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