24.26 A área da superfície horizontal
de um lago a uma profundidade particular pode ser calculada a partir do volume por derivação,
em que
é o volume
e
é a profundidade
medida da superfície até o fundo. A concentração média de uma substância que varia com a profundidade
pode ser calculada por integração
em que
é a profundidade total (m). Calcule a concentração média com base nos seguintes dados:
0
4
8
12
16
9,8175
5,1051
1,9635
0,3927
0,0000
10,2
8,5
7,4
5,2
4,1
|
0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
|
9,8175 | 5,1051 | 1,9635 | 0,3927 | 0,0000 |
|
10,2 | 8,5 | 7,4 | 5,2 | 4,1 |
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados em função da profundidade
:
Queremos calcular
onde
. Como temos apenas valores discretos, vamos aproximar as integrais por somas em cada camada entre
e
.
Passo 2
Em cada intervalo
de profundidade, definimos
de modo que
médio na camada vale aproximadamente
Mas, para o cálculo de
, é mais direto usar a troca de variável
e aproximar
por
, com
média de
na camada.
Passo 3
Definimos em cada camada
Então
Passo 4
Calculamos
,
e o produto
(todos em unidades de
e
):
Passo 5
Somamos as contribuições:
Logo a concentração média é
Resposta
A concentração média do lago é aproximadamente