50 Se
é uma função diferenciável a duas variáveis tais que
e
e se
, encontre (a)
e (b) $g^{\prime}(1).
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável em duas variáveis, com
e define
Queremos (a)
e (b)
. Para isso vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis de composição.
Passo 2
Defina
Em
temos
Para derivar, note que
com
, então
Em
isso dá
Passo 3
Agora defina
Em
temos
Para a derivada, pela regra da cadeia em função de duas variáveis,
Em
isso vale
Passo 4
Finalmente
Em
segue que
A derivada é
então em
obtemos
Resposta
(a)
(b)
(b)