50 Se f é uma função diferenciável a duas variáveis tais que f(1,1)=1, f1(1,1)=a e f2(1,1)=b e se g(x)=f(x, f(x, f(x, x))), encontre (a) g(1) e (b) $g^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em duas variáveis, com
f(1,1)=1, f1(1,1)=a, f2(1,1)=b
e define
g(x)=fl(x,;fl(x,;f(x,x)r)r)
Queremos (a) g(1) e (b) g'(1). Para isso vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis de composição.

Passo 2

Defina
u(x)=f(x,x)
Em x=1 temos
u(1)=f(1,1)=1
Para derivar, note que u(x)=fl(x,yr) com y=x, então
u'(x)=f1(x,x)cdot 1 + f2(x,x)cdot 1=f1(x,x)+f2(x,x)
Em x=1 isso dá
u'(1)=a+b

Passo 3

Agora defina
v(x)=fl(x,u(x)r)
Em x=1 temos
v(1)=fl(1,u(1)r)=f(1,1)=1
Para a derivada, pela regra da cadeia em função de duas variáveis,
v'(x)=f1l(x,u(x)r)cdot 1 + f2l(x,u(x)r)cdot u'(x)
Em x=1 isso vale
v'(1)=a + b,(a+b)=a + ab + b^2

Passo 4

Finalmente
g(x)=fl(x,v(x)r)
Em x=1 segue que
g(1)=fl(1,v(1)r)=f(1,1)=1
A derivada é
g'(x)=f1l(x,v(x)r)cdot 1 + f2l(x,v(x)r)cdot v'(x),
então em x=1 obtemos
g'(1)=a + b,(a+ab+b^2)=a + ab + ab^2 + b^3

Resposta

(a) g(1)=1
(b) g'(1)=a + ab + ab^2 + b^3

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