Use a regra da cadeia para encontrar a derivada indicada.
w=tan ^-1(u v), u=e^x, v=e^-5 x ; d wd x

Passo 1

O enunciado dá
w = tan^-1(u,v), u = e^x, v = e^-5x,
e pede dwdx. Vamos usar a regra da cadeia para a função tan^-1(t) e, dentro dela, a regra do produto para t=uv.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
dwdx = 11+(uv)^2,ddx(uv)

Passo 3

Pela regra do produto,
ddx(uv) = u',v + u,v',
onde u'=e^x e v'=-5e^-5x. Logo,
ddx(uv) = e^xe^-5x-5e^xe^-5x = -4e^-4x

Passo 4

Substituindo em dwdx, temos
dwdx = -4e^-4x1 + (e^-4x)^2 = -4e^-4x1 + e^-8x

Resposta

dwdx = -4e^-4x1 + e^-8x

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