24.7 Os seguintes dados foram coletados quando um grande tanque de óleo estava sendo carregado:
, min 0 10 20 30 45 60 75
barris 0,4 0,7 0,77 0,88 1,05 1,17 1,35
Calcule a vazão (isto é, ) para cada instante, com ordem de .

Passo 1

O enunciado dá os pares (ti,Vi) (em minutos e 10^6 barris) e pede a derivada Q=dV/dt em cada ti com precisão de segunda ordem em h. O conteúdo é diferenciação numérica, usando fórmulas de diferença de ordem O(h^2).

Passo 2

Para pontos internos usaremos a diferença central de segunda ordem em passo variável:
dVdt|ti =Vi+1-Vi-1ti+1-ti-1
Para os extremos usamos as fórmulas de diferença paraward/backward de segunda ordem (com h constante entre os primeiros três ou últimos três pontos):
dVdt|t0 =-3V0+4V1-V22h, dVdt|tn =3Vn-4Vn-1+Vn-22h,
onde h é o espaçamento entre t0,t1,t2 (ou entre tn-2,tn-1,tn).

Passo 3

Cálculo em t0=0 (com h=10,min):
dVdt|0 =-3(0,4)+4(0,7)-0,772cdot10 =0,8320=0,0415
Cálculo em t6=75 (com h=15,min):
dVdt|75 =3(1,35)-4(1,17)+1,052cdot15 =0,4230=0,0140

Passo 4

Cálculo nos pontos internos:
  • t1=10:
V2-V0t2-t0 =0,77-0,420=0,0185
  • t2=20:
V3-V1t3-t1 =0,88-0,720=0,0090
  • t3=30:
V4-V2t4-t2 =1,05-0,7725=0,0112
  • t4=45:
V5-V3t5-t3 =1,17-0,8830=0,00967
  • t5=60:
V6-V4t6-t4 =1,35-1,0530=0,0100

Resposta

Os valores aproximados de Q=dV/dt em 10^6 barris por minuto são:
t=0: 0,0415 t=10: 0,0185 t=20: 0,0090 t=30: 0,0112 t=45: 0,00967 t=60: 0,0100 t=75: 0,0140

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