24.45 Empregue a regra de Simpson com aplicação múltipla para calcular a distância vertical percorrida por um foguete se a velocidade vertical for dada por
ll v=11 t^2-5 t & 0 <= t <= 10 v=1100-5 t & 10 <= t <= 20 v=50 t+2(t-20)^2 & 20 <= t <= 30

Passo 1

O enunciado pede a distância vertical percorrida pelo foguete, ou seja,
D=integral0^30v(t),dt,
onde v(t) é definida de forma piecewise em três subintervalos. Vamos empregar a regra de Simpson com aplicação múltipla, dividindo o domínio em [0,10], [10,20] e [20,30], e em cada parte usar n=2 subintervalos (o que garante número par de subintervalos por região), de modo que em cada trecho h=5.

Passo 2

Intervalo [0,10]: h=(10-0)/2=5. Os pontos são t0=0, t1=5, t2=10.
Calculamos
v(0)=11cdot0^2-5cdot0=0, v(5)=11cdot5^2-5cdot5=275-25=250, v(10)=11cdot10^2-5cdot10=1100-50=1050
Pela regra de Simpson neste intervalo,
I1approx h3l[v(0)+v(10)+4,v(5)r] =53l[0+1050+4cdot250r] =53times2050 =102503

Passo 3

Intervalo [10,20]: h=(20-10)/2=5. Os pontos são t0=10, t1=15, t2=20. A função é v=1100-5t, então
v(10)=1100-5cdot10=1050, v(15)=1100-5cdot15=1100-75=1025, v(20)=1100-5cdot20=1000
A integral aproximada é
I2approx 53l[v(10)+v(20)+4,v(15)r] =53l[1050+1000+4cdot1025r] =53times6150 =307503

Passo 4

Intervalo [20,30]: h=(30-20)/2=5. Os pontos são t0=20, t1=25, t2=30. A função é v=50t+2(t-20)^2, então
v(20)=50cdot20+2cdot0^2=1000, v(25)=50cdot25+2cdot5^2=1250+50=1300, v(30)=50cdot30+2cdot10^2=1500+200=1700
Pela regra de Simpson,
I3approx 53l[v(20)+v(30)+4,v(25)r] =53l[1000+1700+4cdot1300r] =53times7900 =395003

Passo 5

Somamos as contribuições dos três trechos para obter a distância total:
Dapprox I1+I2+I3 =102503+307503+395003 =805003 approx26833,33

Resposta

A distância vertical percorrida, pelo método de Simpson de aplicação múltipla, é aproximadamente
Dapprox26833,33

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