31 O “hipervolume” de uma “hiperesfera tetradimensional” de raio
é dado por
, onde
é a esfera sólida de raio
no espaço
. Calcule este “hipervolume”.
Passo 1
O enunciado pede o hipervolume de uma hiperesfera 4-dimensional de raio
, dado por
onde
é a bola sólida de raio
em
. Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas em
e calcular a integral tripla.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
,
, e
A integral vira
Passo 3
As integrais angulares são
logo o fator angular total é
. Assim o hipervolume fica
Passo 4
Para calcular
,
fazemos a substituição trigonométrica , com
. Então
fazemos a substituição trigonométrica
e
Usando
e
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
, o hipervolume vale