31 O “hipervolume” de uma “hiperesfera tetradimensional” de raio a é dado por 2 integral triplaS raiza^2-x^2-y^2-z^2 d x d y d z, onde S é a esfera sólida de raio a no espaço x y z. Calcule este “hipervolume”.

Passo 1

O enunciado pede o hipervolume de uma hiperesfera 4-dimensional de raio a, dado por
2 integral triplaS raiza^2-x^2-y^2-z^2;dx,dy,dz,
onde S é a bola sólida de raio a em (x,y,z). Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas em R^3 e calcular a integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com rhoin[0,a], phiin[0,pi], thetain[0,2pi], e
dx,dy,dz = rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta
A integral vira
2integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^a raiza^2-rho^2;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 3

As integrais angulares são
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2,
logo o fator angular total é 4pi. Assim o hipervolume fica
2cdot 4pi integral0^arho^2raiza^2-rho^2;drho =8piintegral0^arho^2raiza^2-rho^2;drho

Passo 4

Para calcular
I=integral0^arho^2raiza^2-rho^2;drho,
fazemos a substituição trigonométrica rho = asin t, com tin[0,pi/2]. Então
drho = acos t,dt, raiza^2-rho^2 = acos t,
e
I = integral0^pi/2(asin t)^2,(acos t),(acos t),dt = a^4integral0^pi/2sin^2tcos^2t,dt
Usando sin^2tcos^2t = tfrac14sin^2(2t) e integral0^pi/2sin^2(2t),dt = pi4, obtemos
I = a^4cdot14cdotpi4 = pi,a^416

Passo 5

Substituindo em 8pi,I, o hipervolume vale
8pi cdot pi,a^416 = pi^2,a^42

Resposta

boxedpi^2,a^42

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