Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(20 S) é o sólido limitado superiormente pelo cone z^2=x^2+y^2, inferiormente pelo plano z=0 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que está entre o plano z=0, o cone z^2=x^2+y^2 (ou seja z=r em coordenadas cilíndricas) e é limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4x. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, Jacobi^ano=r

Passo 2

Projetando S no plano xy, o cilindro x^2+y^2=4x vira
r^2=4rcostheta Longrightarrow r=4costheta,
com costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e 0<= r<=4costheta.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral tripla em cilíndricas:
V=integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^4costheta integralz=0^r r;dz;dr;dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralz=0^rr,dz = rl[zr]0^r = rcdot r = r^2
Então a integral reduz a
V=integral-pi2^pi2 integral0^4costheta r^2;dr;dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^4costhetar^2,dr =l[tfracr^33r]0^4costheta =(4costheta)^33 =643cos^3theta
Logo
V =643 integral-pi2^pi2 cos^3theta;dtheta

Passo 6

Usamos que cos^3theta é função par, então
integral-pi2^pi2cos^3theta,dtheta =2integral0^pi2cos^3theta,dtheta e integral0^pi2cos^3theta,dtheta =23
Portanto
V =643cdot 2cdot 23 =64cdot49 =2569

Resposta

V = 2569

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