19 Indique se a sequência 1-14+116-cdots+(-1)^n-14^n-1 é limitada ou ilimitada; crescente, decrescente ou não-monótona; convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
Sn = 1 - 14 + 116 - cdots + (-1)^n-14^n-1
e pede para verificar se ela é limitada ou ilimitada; crescente, decrescente ou não-monótona; e convergente ou divergente. Vamos usar o fato de que isso é soma parcial de uma progressão geométrica.

Passo 2

Reconhecemos que os termos formam uma PG de primeiro termo a=1 e razão r=-tfrac14. A soma dos n primeiros termos dessa PG é
Sn = sumk=0^n-1 r^k = 1 - r^n1 - r
Substituindo r=-tfrac14, obtemos
Sn = 1 - l(-tfrac14r)^n1 - l(-tfrac14r) = 1 - (-1/4)^n5/4 = 45l(1 - (-tfrac14)^nr)

Passo 3

Como l|-tfrac14r|<1, temos l(-tfrac14r)^nto0. Além disso, calculando alguns termos iniciais:
S1 = 1, S2 = 1 - tfrac14 = tfrac34
E pela fórmula geral, fica claro que
34 <= Sn <= 1 forall n
Portanto, a sequência é limitada.

Passo 4

Para n par temos (-1/4)^n>0 e Sn<4/5, já para n ímpar (-1/4)^n<0 e Sn>4/5. Mostra-se também que
S2<S4<S6<cdots<45 e S1>S3>S5>cdots>45
Assim, a subsequência de índices pares é crescente e a de índices ímpares é decrescente, logo a sequência geral não é nem crescente nem decrescente — é não-monótona.

Passo 5

Como l(-tfrac14r)^nto0, segue da fórmula de Sn que
limntoinftySn = 45l(1 - 0r) = 45
Logo a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é limitada, não-monótona e convergente, com limntoinftySn=tfrac45.

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