19 Indique se a sequência é limitada ou ilimitada; crescente, decrescente ou não-monótona; convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificar se ela é limitada ou ilimitada; crescente, decrescente ou não-monótona; e convergente ou divergente. Vamos usar o fato de que isso é soma parcial de uma progressão geométrica.
Passo 2
Reconhecemos que os termos formam uma PG de primeiro termo e razão . A soma dos primeiros termos dessa PG é
Substituindo , obtemos
Passo 3
Como , temos l(-tfrac14r)^nto0. Além disso, calculando alguns termos iniciais:
S1 = 1, S2 = 1 - tfrac14 = tfrac34
E pela fórmula geral, fica claro que
34 <= Sn <= 1 forall n
Portanto, a sequência é limitada.
Passo 4
Para n par temos (-1/4)^n>0 e Sn<4/5, já para n ímpar (-1/4)^n<0 e Sn>4/5. Mostra-se também que
S2<S4<S6<cdots<45 e S1>S3>S5>cdots>45
Assim, a subsequência de índices pares é crescente e a de índices ímpares é decrescente, logo a sequência geral não é nem crescente nem decrescente — é não-monótona.
Passo 5
Como l(-tfrac14r)^nto0, segue da fórmula de Sn que
limntoinftySn = 45l(1 - 0r) = 45
Logo a sequência é convergente.
Resposta
A sequência é limitada, não-monótona e convergente, com limntoinftySn=tfrac45.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas de Revisão - Ex. 19