A massa está distribuída sobre a regiâo ® dada na maneira indicada. Ache a massa total (m) na região ®.
R: 0 \leq y \leq 2 e \sqrt{3-y} \leq x \leq 3-y, com uma funçāo de densidade (\sigma) dada por (\sigma(x, y)) (=2 x), quilogramas por metro quadrado.
R: 0 \leq y \leq 2 e \sqrt{3-y} \leq x \leq 3-y, com uma funçāo de densidade (\sigma) dada por (\sigma(x, y)) (=2 x), quilogramas por metro quadrado.
Passo 1
O enunciado pede a massa total
de uma lâmina que ocupa a região
com densidade superficial
. Para resolver, vamos usar o conceito de massa por integração dupla:
Passo 2
Expressamos a integral iterada trocando a ordem natural dada no enunciado (primeiro
, depois
):
Passo 3
Calculamos a integral interna em
:
Passo 4
Simplificamos o resultado:
Assim
Passo 5
Integramos em
:
Resposta
A massa total da lâmina é