A massa está distribuída sobre a regiâo ® dada na maneira indicada. Ache a massa total (m) na região ®.
R: 0 \leq y \leq 2 e \sqrt{3-y} \leq x \leq 3-y, com uma funçāo de densidade (\sigma) dada por (\sigma(x, y)) (=2 x), quilogramas por metro quadrado.

Passo 1

O enunciado pede a massa total m de uma lâmina que ocupa a região
R = l(x,y)mid 0 <= y <= 2, raiz3 - y <= x <= 3 - yr
com densidade superficial sigma(x,y)=2x. Para resolver, vamos usar o conceito de massa por integração dupla:
m = integral duplaR sigma(x,y),dA

Passo 2

Expressamos a integral iterada trocando a ordem natural dada no enunciado (primeiro x, depois y):
m = integraly=0^2!integralx=raiz3-y^,3-y 2x ,dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integralx=raiz3-y^,3-y 2x,dx = l[x^2r]x=raiz3-y^,3-y = (3-y)^2 ;-; l(raiz3-yr)^2 = (3-y)^2 - (3-y)

Passo 4

Simplificamos o resultado:
(3-y)^2 - (3-y) = (3-y)l((3-y)-1r) = (3-y)(2-y) = 6 - 5y + y^2
Assim
m = integral0^2 l(6 - 5y + y^2r),dy

Passo 5

Integramos em y:
integral0^2 (6 - 5y + y^2),dy = l[6y - tfrac52y^2 + tfrac13y^3r]0^2 = l(12 - 10 + tfrac83r) = 2 + tfrac83 = tfrac143

Resposta

A massa total da lâmina é
m = tfrac143 kg

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