Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido limitado acima pelo plano (z=x+2 y+z), abaixo pela superfície (z=-\sqrt{2 x-x{2}-y{2}}), e lateralmente pelo cilindro (x{2}+y{2}=2 x).

Passo 1

No enunciado temos um sólido limitado superiormente pelo plano
z = 2 - x - 2y,
inferiormente pela superfície
z = -raiz2x - x^2 - y^2,
e lateralmente pelo cilindro
x^2 + y^2 = 2x
Queremos usar integração dupla para calcular
V = integral duplaDl(zsuperior - zinferiorr),dA
onde D é a projeção no plano xy.

Passo 2

A fronteira lateral x^2+y^2=2x pode ser reescrita completando quadrado:
x^2-2x + y^2=0 Longrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1
Logo
D=l(x,y)mid (x-1)^2+y^2<=1r,
um disco de raio 1 centrado em (1,0).
Também note que
2x - x^2 - y^2 =1 - l((x-1)^2+y^2r),
então
zinferior =-raiz1 - l((x-1)^2+y^2r)
Portanto
V =integral duplaDl[l(2 - x - 2yr) ;+;raiz1 - l((x-1)^2+y^2r)r],dA

Passo 3

Separamos o integral em dois termos:
V = integral duplaD(2 - x - 2y),dA ;+; integral duplaDraiz1 - l((x-1)^2+y^2r),dA =: I + J
Para I, usamos que Area(D)=pi e
integral duplaD2,dA = 2pi, integral duplaDx,dA =integral duplaD(u+1),dA(u=x-1) =0 + pi = pi, integral duplaDy,dA=0
Assim
I = 2pi - pi - 2cdot0 = pi

Passo 4

Para J, fazemos a mudança u = x-1,;v=y, de modo que (u,v) descreve o disco u^2+v^2<=1. Em coordenadas polares (u=rcostheta,v=rsintheta):
J =integral0^2pi!!integral0^1 raiz1-r^2;r,dr,dtheta =2pi integral0^1rraiz1-r^2,dr
Com t=1-r^2, dt=-2r,dr, obtemos
integral0^1rraiz1-r^2,dr =13,
logo
J=2picdot13=2pi3

Passo 5

Somando os dois termos:
V = I + J = pi + 2pi3 = 5pi3

Resposta

V = 5pi3

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