Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido limitado acima pelo plano (z=x+2 y+z), abaixo pela superfície (z=-\sqrt{2 x-x{2}-y{2}}), e lateralmente pelo cilindro (x{2}+y{2}=2 x).
O sólido limitado acima pelo plano (z=x+2 y+z), abaixo pela superfície (z=-\sqrt{2 x-x{2}-y{2}}), e lateralmente pelo cilindro (x{2}+y{2}=2 x).
Passo 1
No enunciado temos um sólido limitado superiormente pelo plano
inferiormente pela superfície
e lateralmente pelo cilindro
Queremos usar integração dupla para calcular
onde
é a projeção no plano
.
Passo 2
A fronteira lateral
pode ser reescrita completando quadrado:
Logo
um disco de raio
centrado em
.
Também note que
Também note que
então
Portanto
Passo 3
Separamos o integral em dois termos:
Para
, usamos que
e
Assim
Passo 4
Para
, fazemos a mudança
, de modo que
descreve o disco
. Em coordenadas polares
:
Com
,
, obtemos
logo
Passo 5
Somando os dois termos: