Modifique a fatoração L D L^{t} para fatorar uma matriz simétrica A. [Observação: A fatoração pode nem sempre ser possivel.] Aplique o novo algoritmo às seguintes matrizes: A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -2 & 4 & -4 \\\\ -2 & 3 & -4 & 5 \\\\ 4 & -4 & 10 & -10 \\\\ -4 & 5 & -10 & 14\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para estendermos a fatoração \,L D L^{t} — que exige pivôs não nulos na diagonal — de modo a permitir trocar filas e colunas simetricamente quando \,a_{kk}=0. Em seguida, aplicar esse algoritmo à matriz simétrica
O conteúdo usado será a eliminação de Gauss adaptada a matrizes simétricas com pivoteamento simétrico.
Passo 2
Algoritmo modificado para fatoração \,A=P^{t} L D L^{t} P (onde P reflete as trocas simétricas):
Inicialize A^{(1)}\leftarrow A, P\leftarrow I.
Para k=1,2,\dots,n:
a) Se a^{(k)}_{kk}=0, busque p>k com a^{(k)}_{pp}\neq0; se achar, troque simetricamente as linhas/colunas k e p em A^{(k)} e troque as mesmas linhas em P. Se não achar, pare: fatoração impossível.
b) Defina