Modifique a fatoração L D L^{t} para fatorar uma matriz simétrica A. [Observação: A fatoração pode nem sempre ser possivel.] Aplique o novo algoritmo às seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -2 & 4 & -4 \\\\ -2 & 3 & -4 & 5 \\\\ 4 & -4 & 10 & -10 \\\\ -4 & 5 & -10 & 14\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para estendermos a fatoração \,L D L^{t} — que exige pivôs não nulos na diagonal — de modo a permitir trocar filas e colunas simetricamente quando \,a_{kk}=0. Em seguida, aplicar esse algoritmo à matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 & -4\\\\ -2& 3 &-4 & 5\\\\ 4 & -4 &10 &-10\\\\ -4& 5 &-10&14 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será a eliminação de Gauss adaptada a matrizes simétricas com pivoteamento simétrico.

Passo 2

Algoritmo modificado para fatoração \,A=P^{t} L D L^{t} P (onde P reflete as trocas simétricas):
  1. Inicialize A^{(1)}\leftarrow A, P\leftarrow I.
  2. Para k=1,2,\dots,n:
    a) Se a^{(k)}_{kk}=0, busque p>k com a^{(k)}_{pp}\neq0; se achar, troque simetricamente as linhas/colunas k e p em A^{(k)} e troque as mesmas linhas em P. Se não achar, pare: fatoração impossível.
    b) Defina
d_{k}=a^{(k)}_{kk},\quad \ell_{i k}=\frac{a^{(k)}_{i k}}{d_{k}}\quad(i=k+1,\dots,n).
c) Atualize o schur complement
a^{(k+1)}_{ij} =a^{(k)}_{ij}-d_{k}\,\ell_{i k}\,\ell_{j k}, \quad i,j=k+1,\dots,n.
  1. Ao fim, L é unitária com subdiagonais \ell_{ik}, D=\operatorname{diag}(d_{1},\dots,d_{n}) e o fator final é P^{t}L D L^{t}P.

Passo 3

k =1: como a^{(1)}_{11}=2\neq0, pivô sem troca.
d_{1}=2,\quad \ell_{21}=\frac{-2}{2}=-1,\, \ell_{31}=\frac{4}{2}=2,\, \ell_{41}=\frac{-4}{2}=-2.
Schur complement A^{(2)} em índice 2\!:\!4 torna-se
\begin{pmatrix} 3 & -4 & 5\\\\ -4&10 &-10\\\\ 5 &-10&14 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&2&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 0&2&-2\\\\ 1&-2&6 \end{pmatrix}.

Passo 4

k =2: agora a^{(2)}_{22}=1\neq0.
d_{2}=1,\quad \ell_{32}=\frac{0}{1}=0,\, \ell_{42}=\frac{1}{1}=1.
Atualizando o bloco 3\!:\!4,
\begin{pmatrix}2&-2\\\ -2&6\end{pmatrix} -1 \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2\\\ -2&5\end{pmatrix}.

Passo 5

k =3: a^{(3)}_{33}=2\neq0.
d_{3}=2,\quad \ell_{43}=\frac{-2}{2}=-1.
Schur final em posição (4,4):
5-2\cdot(-1)\cdot(-1)=5-2=3 \quad\Longrightarrow\quad d_{4}=3.

Resposta

A fatoração sem necessidade de troca P=I é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1& 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 & 0\\\\ -2& 1 & -1& 1 \end{pmatrix}, \quad D=\operatorname{diag}(2,1,2,3),
de modo que
A = L\,D\,L^{t}.

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