Utilize a fatoração de Crout para sistemas tridiagonais para resolver os sistemas lineares a seguir.
2 x_{1}+x_{2}=3,
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =-2, \\\\ 2 x_{2}+3 x_{3} & =0 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema tridiagonal
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=3,\\\ x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-2,\\\\ 2x_{2}+3x_{3}=0, \end{cases}
e pede para usar a fatoração de Crout (onde A=L\,U com L tendo diagonais l_i e subdiagonais a_i, e U tendo diagonais unitárias e superdiagonais u_i). Precisamos calcular primeiro os coeficientes l_i e u_i, depois resolver L\,y=d por substituição direta e finalmente U\,x=y por substituição reversa.

Passo 2

Identificamos \;a_2=1,\;a_3=2,\;b_1=2,\;b_2=2,\;b_3=3,\;c_1=1,\;c_2=1,\;d_1=3,\;d_2=-2,\;d_3=0.
As fórmulas de Crout para matrizes tridiagonais são
l_{1}=b_{1},\quad u_{1}=\frac{c_{1}}{l_{1}},
l_{i}=b_{i}-a_{i}\,u_{i-1},\quad u_{i}=\frac{c_{i}}{l_{i}}\quad(i=2,\dots,n-1),
l_{n}=b_{n}-a_{n}\,u_{n-1}.
Aplicando:
l_{1}=2,\quad u_{1}=\frac{1}{2},
l_{2}=2-1\cdot\frac{1}{2}=\tfrac{3}{2},\quad u_{2}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3},
l_{3}=3-2\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 3

Agora resolvemos L\,y=d, isto é
\begin{cases} l_{1}y_{1}=d_{1},\\\ l_{i}y_{i}=d_{i}-a_{i}y_{i-1}\quad(i=2,3). \end{cases}
Então
y_{1}=\frac{3}{2},
y_{2}=\frac{-2-1\cdot\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} =\frac{-\tfrac{7}{2}}{\tfrac{3}{2}}=-\frac{7}{3},
y_{3}=\frac{0-2\cdot\bigl(-\tfrac{7}{3}\bigr)}{\frac{5}{3}} =\frac{\tfrac{14}{3}}{\tfrac{5}{3}}=\frac{14}{5}.

Passo 4

Por fim, resolvemos U\,x=y por substituição reversa, sabendo que U tem 1 na diagonal e u_i na superdiagonal:
x_{n}=y_{n},\quad x_{i}=y_{i}-u_{i}\,x_{i+1}\quad(i=n-1,\dots,1).
Assim
x_{3}=y_{3}=\frac{14}{5},
x_{2}=y_{2}-u_{2}x_{3} =-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}\cdot\frac{14}{5} =-\frac{7}{3}-\frac{28}{15} =-\frac{21}{5},
x_{1}=y_{1}-u_{1}x_{2} =\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{21}{5}\bigr) =\frac{3}{2}+\frac{21}{10} =\frac{18}{5}.

Resposta

x_{1}=\tfrac{18}{5},\quad x_{2}=-\tfrac{21}{5},\quad x_{3}=\tfrac{14}{5}.

Exercícios de Livros Relacionados