29 Mostre que satisfaz a equação diferencial parcial

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
w(x,y)=e^-y^2cos x
satisfaz a equação diferencial parcial
partial^2wpartial y^2 ;-;2,partial^2wpartial x^2 ;=;4,y^2,w
Vamos usar regras de derivação de funções compostas e do produto.

Passo 2

Calculemos partial^2w/partial y^2. Primeiro
partial wpartial y =partialpartial yl(e^-y^2r)cos x =-2y,e^-y^2cos x
Derivando de novo em y, tendo em vista o produto -2ycdot e^-y^2, vem
partial^2wpartial y^2 =partialpartial yl(-2y,e^-y^2cos xr) =l(-2r)e^-y^2cos x +(-2y)l(-2y,e^-y^2r)cos x =(4y^2-2),e^-y^2cos x

Passo 3

Calculemos partial^2w/partial x^2. Primeiro
partial wpartial x =e^-y^2ddx(cos x) =-e^-y^2sin x
Derivando de novo em x,
partial^2wpartial x^2 =partialpartial xl(-e^-y^2sin xr) =-e^-y^2cos x

Passo 4

Substituindo na equação diferencial parcial:
partial^2wpartial y^2 -2,partial^2wpartial x^2 =(4y^2-2),e^-y^2cos x -2l(-e^-y^2cos xr) =4y^2,e^-y^2cos x =4y^2,w,
o que confirma a igualdade desejada.

Resposta

A função w(x,y)=e^-y^2cos x satisfaz
partial^2wpartial y^2 -2,partial^2wpartial x^2 =4,y^2,w

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