Nos problemas de 13 a 20, encontre cada derivada parcial.
f(x, y, z)=e^x y z; (a) fx y z x(1,2,3), (b) fx, y z(1,2,3).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=e^xyz
e pede duas derivadas mistas em (1,2,3):
(a)
fxyzx(1,2,3)=partial^4fpartial x,partial y,partial z,partial x(1,2,3),
(b)
fx,yz(1,2,3)=partial^3fpartial x,partial y,partial z(1,2,3)
Vamos usar regra da cadeia e produto para calcular as derivadas sucessivas: fx, fxy, fxyz e por fim fxyzx.

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial em x. Como u=xyz, temos ux=yz e
fx = partialpartial xe^u=ux,e^u=yz,e^xyz

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial em y:
fxy =partialpartial yl(yz,e^xyzr) =z,e^xyz+yz,(xz,e^xyz) =z,e^xyz+x y z^2,e^xyz =zl(1+xyzr)e^xyz

Passo 4

Calcular a terceira derivada parcial em z:
fxyz =partialpartial zl[zl(1+xyzr)e^xyzr]
Usando produto e cadeia obtemos
fxyz =l(1+3xyz+x^2y^2z^2r)e^xyz

Passo 5

Calcular a quarta derivada parcial em x:
fxyzx =partialpartial xl[(1+3xyz+x^2y^2z^2)e^xyzr]
Fazendo produto e cadeia, chega-se a
fxyzx =l(4yz+5xy^2z^2+x^2y^3z^3r)e^xyz

Passo 6

Avaliar em (1,2,3). Primeiro xyz=1cdot2cdot3=6 e e^xyz=e^6.
Para a terceira derivada:
1+3cdot6+6^2=1+18+36=55 Longrightarrow fx,yz(1,2,3)=55,e^6
Para a quarta derivada:
4cdot2cdot3+5cdot1cdot2^2cdot3^2+1^2cdot2^3cdot3^3 =24+180+216=420 Longrightarrow fxyzx(1,2,3)=420,e^6

Resposta

fxyzx(1,2,3)=420,e^6
fx,yz(1,2,3)=55,e^6

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