Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=e^3 x^2-2 y^3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^3x^2-2y^3
e pede as derivadas parciais de segunda ordem: partial^2fpartial x^2, partial^2fpartial y^2, as mistas partial fpartial ypartial x e partial^2fpartial xpartial y, e verificar que elas coincidem. Vamos usar:
  1. Regra da cadeia para derivadas de e^3x^2.
  2. Derivadas simples de potências em y.
  3. Teorema de igualdade das derivadas mistas (teorema de Schwarz).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a x: o termo e^3x^2 gera, pela regra da cadeia,
partialpartial xe^3x^2 = e^3x^2cdot partialpartial x(3x^2) =6x,e^3x^2,
e partialpartial x(-2y^3)=0.
Logo
partial fpartial x=6x,e^3x^2
Derivando em relação a y:
partialpartial y(-2y^3) =-6y^2,
e partialpartial y(e^3x^2)=0.
Logo
partial fpartial y=-6y^2

Passo 3

Calcular partial^2fpartial x^2 derivando partial fpartial x=6x,e^3x^2 em relação a x, usando regra do produto e cadeia:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(6x,e^3x^2r) =6,e^3x^2 + 6xcdot(6x,e^3x^2) =(6+36x^2),e^3x^2

Passo 4

Calcular partial^2fpartial y^2 derivando partial fpartial y=-6y^2 em relação a y:
partial^2fpartial y^2 =partialpartial y(-6y^2) =-12y

Passo 5

Calcular as derivadas mistas.
partial fpartial ypartial x=partialpartial yl(tfracpartial fpartial xr) =partialpartial y(6x,e^3x^2)=0 (não há y em partial fpartial x).
partial^2fpartial xpartial y=partialpartial xl(tfracpartial fpartial yr) =partialpartial x(-6y^2)=0 (não há x em partial fpartial y).

Passo 6

Verificamos que
partial fpartial ypartial x =0 e partial^2fpartial xpartial y =0,
ou seja, são iguais, conforme o teorema de Schwarz.

Resposta

(a) partial^2fpartial x^2=(6+36x^2),e^3x^2
(b) partial^2fpartial y^2=-12y
(c) partial fpartial ypartial x=0
(d) partial^2fpartial xpartial y=0
(e) partial fpartial ypartial x=partial^2fpartial xpartial y

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