Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem:
,
, as mistas
e
, e verificar que elas coincidem. Vamos usar:
- Regra da cadeia para derivadas de
. - Derivadas simples de potências em
. - Teorema de igualdade das derivadas mistas (teorema de Schwarz).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a : o termo
gera, pela regra da cadeia,
Derivando em relação a
e
.
Logo
Logo
Derivando em relação a
:
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Calcular
derivando
em relação a
, usando regra do produto e cadeia:
Passo 4
Calcular
derivando
em relação a
:
Passo 5
Calcular as derivadas mistas.
(não há
em
).
(não há
em
).
Passo 6
Verificamos que
ou seja, são iguais, conforme o teorema de Schwarz.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)