21 Se w=(A x^2+B y^2)^3. onde A e B são constantes, verifique que partial^3 wpartial x^2 partial y=partial^3 wpartial y partial x^2 por cálculo direto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar por cálculo direto que, para
w = l(Ax^2 + By^2r)^3,
as derivadas mistas de terceira ordem
partial^3wpartial x^2partial y e
partial^3wpartial ypartial x^2
são iguais. Vamos usar regra da cadeia e regra do produto para obter ambas e comparar.

Passo 2

Primeiro calculamos
partial wpartial x = 3l(Ax^2+By^2r)^2cdotpartialpartial x(Ax^2+By^2) = 3l(Ax^2+By^2r)^2cdot 2Ax = 6A,x,(Ax^2+By^2)^2
Em seguida,
partial^2wpartial x^2 =partialpartial xl[6A,x,(Ax^2+By^2)^2r] =6A,(Ax^2+By^2)^2 +6A,xcdot 2,(Ax^2+By^2)cdot 2Ax
=6A,(Ax^2+By^2)^2 +24A^2x^2,(Ax^2+By^2)

Passo 3

Agora derivamos partial^2w/partial x^2 em relação a y:
partial^3wpartial x^2partial y =6Acdot2,(Ax^2+By^2)cdot2By +24A^2x^2cdot2By
=24AB,y,(Ax^2+By^2) +48A^2B,x^2y =24AB,yl(Ax^2+By^2+2Ax^2r)
=24AB,y,(3A x^2+B y^2)

Passo 4

Agora calculamos na outra ordem. Primeiro
partial wpartial y =3,(Ax^2+By^2)^2cdot2By =6B,y,(Ax^2+By^2)^2
Depois diferenciamos duas vezes em x:
partialpartial xl[6B,y,(Ax^2+By^2)^2r] =6B,ycdot2,(Ax^2+By^2)cdot2Ax =24AB,x,y,(Ax^2+By^2),
partial^2partial x^2l(partial wpartial yr) =partialpartial xl[24AB,x,y,(Ax^2+By^2)r] =24AB,yl(Ax^2+By^2+2Ax^2r)
=24AB,y,(3A x^2+B y^2)

Passo 5

As duas formas dão o mesmo resultado
24AB,y,(3A x^2+B y^2),
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partial^3wpartial x^2partial y =partial^3wpartial ypartial x^2

Resposta

partial^3wpartial x^2partial y = partial^3wpartial ypartial x^2 =24AB,y,(3A x^2+B y^2)

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