Nos problemas de 13 a 20, encontre cada derivada parcial.
f(x, y, z)=y ln (x-csc z),
partial^2 fpartial x partial z

Passo 1

O enunciado dá f(x,y,z)=yln(x-csc z) e pede a derivada parcial mista partial^2fpartial xpartial z. Para isso, vamos usar derivadas parciais, a regra da cadeia e a derivada de csc z.

Passo 2

Primeiro calculamos partial fpartial x. Como y é constante e aplicamos a regra da cadeia em ln(x-csc z), temos
partial fpartial x = ycdot1x-csc zcdotpartialpartial x(x-csc z) = yx-csc z

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x=yx-csc z em relação a z. Usando regra da cadeia e sabendo que ddz(csc z)=-csc zcot z, obtemos
partial^2fpartial zpartial x = partialpartial zl(yx-csc zr) = ycdot(-1)(x-csc z)^-2cdotddz(x-csc z) = -y,csc z,cot z(x-csc z)^2
Como as mistas comutam, esse é também partial^2fpartial xpartial z.

Resposta

partial^2fpartial xpartial z = -y,csc z,cot z(x-csc z)^2

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