Um objeto é suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabulados a seguir.
10 20 30 40 50 60 70 80
25 70 380 550 610 1.220 830 1.450
Use regressão por mínimos quadrados para ajustar esses dados com
um modelo de potências baseado em regressão não-linear. Mostre os seus resultados graficamente.

Passo 1

O enunciado nos dá pares de dados (vi,Fi) medidos em um túnel de vento, onde vi é a velocidade do vento (m/s) e Fi é a força medida (N). Queremos ajustar um modelo de potência
F(v)=a,v^b
usando mínimos quadrados não lineares (que linearizamos com logaritmos) e mostrar o ajuste graficamente.

Passo 2

Para usar mínimos quadrados, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln F = ln a + b,ln v
Definimos
xi = ln vi, yi = ln Fi, A = ln a
O problema reduz-se a ajustar uma reta y = A + b,x por regressão linear.

Passo 3

Calculamos tabelas de xi e yi e suas médias:
c|cccccccc vi & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80hline xi=ln vi &2,3026&2,9957&3,4012&3,6889&3,9120&4,0943&4,2485&4,3820 yi=ln Fi &3,2189&4,2485&5,9402&6,3099&6,4120&7,1060&6,7204&7,2793
bar x = 18sumi xi = 3,6282, bar y = 18sumi yi = 5,9044

Passo 4

Usamos as fórmulas da regressão linear para calcular o coeficiente angular b e o intercepto A:
b = sumi (xi-bar x)(yi-bar y)sumi (xi-bar x)^2 approx 6,86723,4632=1,9830,
A = bar y - b,bar x approx 5,9044 - 1,9830cdot3,6282 = -1,2902
Então
a = e^A approx e^-1,2902 = 0,2752

Passo 5

Voltando ao modelo original, obtemos
boxedF(v)=0,2752;v^1,9830

Passo 6

Para visualizar o ajuste, plote os pontos (vi,Fi) em um gráfico de dispersão e sobreponha a curva contínua
F(v)=0,2752,v^1,9830,
por exemplo com uma malha de v de 10 a 80. O gráfico mostra que a curva de potência segue bem a tendência dos dados.

Resposta

O ajuste por mínimos quadrados no modelo de potência deu
F(v)=0,2752;v^1,9830,
e o gráfico abaixo ilustra os pontos medidos e a curva ajustada:
(Gráfico: eixos v em m/s e F em N, pontos experimentais e linha contínua do modelo)

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