Os dados a seguir representam o crescimento bacteriológico em uma cultura líquida durante certo número de dias.
Dia 0 4 8 12 16 20
Quantidade l|cccccc Dia & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 hline Quantidade $times 10^6$ & 67 & 84 & 98 & 125 & 149 & 185 67 84 98 125 149 185
Encontre a equação do melhor ajuste para a tendência dos dados. Tente várias possibilidades - linear, parabólica e exponencial. Use um pacote de software de sua escolha para encontrar a melhor equação para prever a quantidade de bactéria após 40 dias.

Passo 1

O enunciado nos dá a tabela de dias x versus quantidade de bactérias y (em milhões):
c|cccccc x (dias) & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20hline y (times10^6) & 67 & 84 & 98 & 125 & 149 & 185
O objetivo é ajustar três modelos de regressão (linear, quadrática e exponencial), comparar suas métricas de ajuste ( R^2 ou erro quadrático residual) e usar o melhor para prever y em x=40.

Passo 2

Ajuste linear y = a + bx.
Usamos as fórmulas de mínimos quadrados:
b = sum (xi - bar x)(yi - bar y)sum (xi - bar x)^2, a = bar y - b,bar x
Calculando os somatórios, obtém-se
b = 5,8, a = 60,
logo
yrm lin(x) = 60 + 5,8,x
O coeficiente de determinação resulta aproximadamente
R^2rm lin approx 0,975

Passo 3

Ajuste quadrático y = a x^2 + b x + c.
Resolvendo o sistema normal
sum y = c,n + bsum x + asum x^2, sum x,y = csum x + bsum x^2 + asum x^3, sum x^2y = csum x^2 + bsum x^3 + asum x^4,
chega-se a
a approx 0,1492, b approx 2,816, c approx 67,96,
isto é
yrm quad(x) = 0,1492,x^2 + 2,816,x + 67,96
O ajuste quadrático dá
R^2rm quad approx 0,998

Passo 4

Ajuste exponencial y = A e^k x.
Tomamos z = ln y e ajustamos z = ln A + kx.
Os mínimos quadrados em (x,z) fornecem
k approx 0,05029, ln A approx 4,2093implies Aapprox e^4.2093approx 67,36
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yexp(x) = 67,36,e^0,05029,x
Neste caso
R^2expapprox 0,9983,
sendo o menor erro residual em y.

Passo 5

Comparando os três modelos pelo R^2 (ou pelo soma dos quadrados dos resíduos), o exponencial é o que melhor se ajusta aos dados.

Passo 6

Usamos o modelo exponencial para prever em x=40:
y(40) = 67,36,e^0,05029cdot 40 approx 67,36,e^2,0116 approx 67,36 times 7,48 approx 503,8
Isso significa cerca de 503,8times 10^6 bactérias.

Resposta

A melhor tendência é o modelo exponencial
y = 67,36,e^0,05029,x,
e a previsão para x=40 dias é aproximadamente
y(40)approx 503,8times 10^6 bactérias é

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