Os dados a seguir representam o crescimento bacteriológico em uma cultura líquida durante certo número de dias.
Dia
0
4
8
12
16
20
Quantidade
67
84
98
125
149
185
Encontre a equação do melhor ajuste para a tendência dos dados. Tente várias possibilidades - linear, parabólica e exponencial. Use um pacote de software de sua escolha para encontrar a melhor equação para prever a quantidade de bactéria após 40 dias.
Passo 1
O enunciado nos dá a tabela de dias versus quantidade de bactérias (em milhões):
O objetivo é ajustar três modelos de regressão (linear, quadrática e exponencial), comparar suas métricas de ajuste ( ou erro quadrático residual) e usar o melhor para prever em .
Passo 2
Ajuste linear .
Usamos as fórmulas de mínimos quadrados:
Calculando os somatórios, obtém-se
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O coeficiente de determinação resulta aproximadamente
Passo 3
Ajuste quadrático .
Resolvendo o sistema normal
chega-se a
a approx 0,1492, b approx 2,816, c approx 67,96,
isto é
yrm quad(x) = 0,1492,x^2 + 2,816,x + 67,96
O ajuste quadrático dá
R^2rm quad approx 0,998
Passo 4
Ajuste exponencial y = A e^k x.
Tomamos z = ln y e ajustamos z = ln A + kx.
Os mínimos quadrados em (x,z) fornecem
k approx 0,05029, ln A approx 4,2093implies Aapprox e^4.2093approx 67,36
Logo
yexp(x) = 67,36,e^0,05029,x
Neste caso
R^2expapprox 0,9983,
sendo o menor erro residual em y.
Passo 5
Comparando os três modelos pelo R^2 (ou pelo soma dos quadrados dos resíduos), o exponencial é o que melhor se ajusta aos dados.