17.14 Considere os dados

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
17 24 31 33 37 37 40 40 42 41
e use regressão por mínimos quadrados para ajustar (a) uma reta, (b) uma equação de potência, (c) uma equação de taxa de crescimento de saturação e (d) uma parábola. Faça o gráfico dos dados junto com todas as curvas. Uma das curvas é superior?
Se esse for o caso, justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta dez pares de dados (xi,yi) e pede ajustes por mínimos quadrados de quatro modelos:
– (a) reta y = a + bx
– (b) potência y = k,x^p
– (c) taxa de crescimento de saturação y = A,xB + x
– (d) parábola y = a + b x + c x^2
Vamos usar:
– para (a) as fórmulas usuais de regressão linear
– para (b) transformação ln y = ln k + p,ln x
– para (c) reciprocais 1/y = (B/A),(1/x) + 1/A
– para (d) as equações normais com somatórios de x^k e x^k y.
Em cada caso calcularemos também o coeficiente de determinação R^2 para comparar os ajustes.

Passo 2

Ajuste da reta y = a + b x.
Calculamos
n = 10, sum xi = 275, sum yi = 342, sum xi^2 = 9625, sum xi yi = 10425
As fórmulas são
b = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2 = 10cdot10425 - 275cdot34210cdot9625 - 275^2 approx 0,4945,
a = sum yi - b,sum xin = 342 - 0,4945cdot27510 =20,6
Logo
hat yrm reta = 20,6 + 0,4945,x
Calculamos
SST = sum(yi - bar y)^2 approx 601,6, SSE = sum(yi - hat yi)^2 approx 97,18,
R^2 = 1 - SSESST approx 0,838

Passo 3

Ajuste da potência y = k,x^p.
Tomamos ln y = ln k + p,ln x. Definimos
Xi = ln xi, Yi = ln yi,
e calculamos sum Xi, sum Yi, sum Xi^2, sum Xi Yi.
O coeficiente p e ln k vêm de
p = nsum XiYi - (sum Xi)(sum Yi) nsum Xi^2 - (sum Xi)^2approx0,385, ln k = sum Yi - psum Xinapprox2,2993
Assim k = e^2,2993approx9,97 e
hat yrm pot = 9,97,x^0,385
No espaço logarítmico achamos
SST' approx0,7504, SSE' approx0,03324, R^2 = 1 - SSE'SST'approx0,956

Passo 4

Ajuste da saturação y=dfracA,xB+x.
Tomamos ui = 1/xi, vi = 1/yi. A regressão é
v = BA,u + 1A
Calculamos sum ui, sum vi, sum ui^2, sum ui vi e achamos
BAapprox0,1977, 1Aapprox0,019948 ;Longrightarrow; Aapprox50,13,;Bapprox9,92
Logo
hat yrm sat = 50,13,x9,92 + x
No espaço (u,v) obtemos
SST''approx0,0010865, SSE''approx7,04times10^-6, R^2approx0,9935

Passo 5

Ajuste da parábola y = a + b x + c x^2.
Calculamos os somatórios sum xi^k ( k=0,dots,4) e sum xi^2 yi. As equações normais são
10,a + 275,b + 9625,c = 342, 275,a + 9625,b + 378125,c = 10425, 9625,a + 378125,b + 15833125,c = 379975
Resolvida a progresso, obtém-se
aapprox11,779, bapprox1,3775, capprox-0,01606,
hat yrm par = 11,779 + 1,3775,x - 0,01606,x^2
Daí
SSEapprox12,62, SST=601,6, R^2approx0,979

Passo 6

Comparando os coeficientes de determinação:
– reta: R^2approx0,838
– potência: R^2approx0,956
– saturação: R^2approx0,9935
– parábola: R^2approx0,979
A curva de saturação é superior, pois tem o maior R^2 e ajusta quase perfeitamente os dados.

Resposta

O modelo de taxa de crescimento de saturação
y = 50,13,x9,92 + x
é o mais adequado, pois apresenta R^2approx0,9935, maior que os dos outros ajustes.

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