e use regressão por mínimos quadrados para ajustar (a) uma reta, (b) uma equação de potência, (c) uma equação de taxa de crescimento de saturação e (d) uma parábola. Faça o gráfico dos dados junto com todas as curvas. Uma das curvas é superior?
Se esse for o caso, justifique.
Passo 1
O enunciado apresenta dez pares de dados e pede ajustes por mínimos quadrados de quatro modelos:
– (a) reta
– (b) potência
– (c) taxa de crescimento de saturação
– (d) parábola
Vamos usar:
– para (a) as fórmulas usuais de regressão linear
– para (b) transformação
– para (c) reciprocais
– para (d) as equações normais com somatórios de e .
Em cada caso calcularemos também o coeficiente de determinação para comparar os ajustes.
Passo 2
Ajuste da reta .
Calculamos
As fórmulas são
Logo
Calculamos
Passo 3
Ajuste da potência .
Tomamos . Definimos
e calculamos , , , .
O coeficiente e vêm de
Assim e
No espaço logarítmico achamos
Passo 4
Ajuste da saturação .
Tomamos , . A regressão é
Calculamos , , , e achamos
Logo
No espaço obtemos
Passo 5
Ajuste da parábola .
Calculamos os somatórios () e . As equações normais são
Resolvida a progresso, obtém-se
aapprox11,779, bapprox1,3775, capprox-0,01606,
hat yrm par = 11,779 + 1,3775,x - 0,01606,x^2
Daí
SSEapprox12,62, SST=601,6, R^2approx0,979
Passo 6
Comparando os coeficientes de determinação:
– reta: R^2approx0,838
– potência: R^2approx0,956
– saturação: R^2approx0,9935
– parábola: R^2approx0,979
A curva de saturação é superior, pois tem o maior R^2 e ajusta quase perfeitamente os dados.
Resposta
O modelo de taxa de crescimento de saturação
y = 50,13,x9,92 + x
é o mais adequado, pois apresenta R^2approx0,9935, maior que os dos outros ajustes.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 17.Problemas - Ex. 17.14